Tangens-Definition
Beschreibung
Die Tangensfunktion (abgekürzt $\tan$) ist eines der drei fundamentalen trigonometrischen Verhältnisse, neben Sinus und Kosinus. Während Sinus und Kosinus einen Winkel zur Hypotenuse in Beziehung setzen, setzt der Tangens die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks zueinander in Beziehung: die Seite **gegenüber** dem Winkel (Gegenkathete) und die Seite **neben** dem Winkel (Ankathete).
Die Eselsbrücke **GAGA Hühnerhof AG** (oder TOA im Englischen) hilft, sich diese Definition zu merken: * **T**angens = **G**egenkathete / **A**nkathete
**Geometrische Interpretation:** * **Steigung:** Im kartesischen Koordinatensystem ist der Tangens eines Winkels $\theta$ exakt die **Steigung** (Anstieg pro Laufweite) der Linie, die diesen Winkel mit der positiven x-Achse bildet. $\tan(\theta) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$. * **Die "Tangente":** Wenn Sie am Einheitskreis eine vertikale Linie zeichnen, die den Kreis bei $x=1$ berührt (tangiert), ist der Tangens von $\theta$ die Länge des Abschnitts auf dieser vertikalen Linie von der x-Achse bis zur Verlängerung des Winkelschenkels. Deshalb heißt er "Tangens" (berührend).
**Schlüsseleigenschaften:** * **Wertebereich:** Im Gegensatz zu Sinus und Kosinus, die zwischen -1 und 1 gefangen sind, kann der Tangens jeden reellen Wert von $-\infty$ bis $+\infty$ annehmen. * **Asymptoten:** Die Funktion ist bei $90^\circ$ ($\\frac{\pi}{2}$) und $270^\circ$ ($3\\frac{\pi}{2}$) nicht definiert, da die Ankathete (Kosinus) Null wird, was zu einer Division durch Null führt. Im Graphen erscheinen diese als vertikale Asymptoten.
Geschichte & Ursprünge
Das Konzept des Tangens ist in der praktischen Anwendung tatsächlich älter als Sinus und Kosinus, hauptsächlich aufgrund der Untersuchung von Schatten. Antike Schatten (Gnomonik): Antike Zivilisationen verwendeten Gnomone (vertikale Stäbe), um die Zeit zu bestimmen. Das Verhältnis zwischen der Höhe des Stabes und der Länge seines Schattens ist im Wesentlichen die Tangens- (oder Kotangens-) Funktion. Thales von Milet nutzte dieses Prinzip bekanntermaßen, um die Höhe der Großen Pyramide zu messen, indem er wartete, bis die Länge seines eigenen Schattens seiner Körpergröße entsprach (wenn $\tan(\theta) = 1$, Winkel = 45°). Islamische Mathematik (ca. 800-900 n. Chr.): Der persische Mathematiker Al-Marwazi erstellte die erste Tangenstabelle (Schattenlängen). Später definierten Al-Biruni und Al-Battani den Tangens als trigonometrische Funktion, die von Schattentabellen unterschieden wurde. Thomas Fincke (1583): Der dänische Mathematiker, der den Begriff "Tangens" in seinem Buch Geometria Rotundi erstmals prägte. Er kommt vom lateinischen tangere, was "berühren" bedeutet und sich auf die geometrische Interpretation am Einheitskreis bezieht.
Herleitung aus Sinus und Kosinus
Wir können die Tangensformel direkt aus den Definitionen von Sinus und Kosinus herleiten.
Erinnere dich an Sinus: $\sin(\theta) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$.
Erinnere dich an Kosinus: $\cos(\theta) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$.
Teile Sinus durch Kosinus: $\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}{\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}$.
Vereinfache den Bruch: Die "Hypotenuse"-Terme kürzen sich weg.
Ergebnis: $\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$.
Per Definition ist dies $\tan(\theta)$.
Geometrischer Beweis (Einheitskreis)
Warum ist es die Länge der Tangentenlinie?
Zeichne einen Einheitskreis (Radius $r=1$) und einen Winkel $\theta$ im Ursprung.
Zeichne eine vertikale Linie, die den Kreis bei $(1,0)$ berührt. Dies ist die Tangentenlinie.
Verlängere den Schenkel des Winkels, bis er diese vertikale Linie im Punkt $T(1, y)$.
Bilde ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Ursprung $(0,0)$, dem Punkt $(1,0)$ und $T(1,y)$.
Die Ankathete ist der Radius, der 1 ist.
Die Gegenkathete ist die Höhe $y$.
Berechne das Verhältnis: $\tan(\theta) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{y}{1} = y$.
Somit ist die y-Koordinate des Schnittpunkts auf der Tangentenlinie der Tangens des Winkels.
Variablen
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
θ | Winkel (Grad oder Radiant) |
Gegenkathete | Seite gegenüber dem Winkel |
Ankathete | Seite neben dem Winkel (nicht Hypotenuse) |
Beispiel
Grundberechnung
Problem : Finden Sie tan(45°)
Lösung :
Messung der Gebäudehöhe
Problem : Sie stehen 50 Meter von der Basis eines Gebäudes entfernt. Sie messen den Höhenwinkel zur Spitze als 60°. Wie hoch ist das Gebäude?
Lösung : ~86,6 Meter
- Identifiziere Bekannte: Ankathete = 50m, Winkel = 60°.
- Identifiziere Unbekannte: Gegenkathete (Höhe).
- Wähle Verhältnis: Tangens = Gegenkathete / Ankathete.
- Gleichung: $\tan(60^\circ) = \frac{h}{50}$.
- Wisse, dass $\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1,732$.
- Löse: $h = 50 \times 1,732$.
- Ergebnis: $h \approx 86,6$ Meter.
Dachneigung
Problem : Ein Dach steigt um 4 Meter für jede 12 Meter horizontale Länge. Was ist der Winkel des Daches?
Lösung : ~18,4°
- Identifiziere: Gegenkathete (Anstieg) = 4, Ankathete (Länge) = 12.
- Formel: $\tan(\theta) = \frac{4}{12} = 0,333$.
- Verwende Arkustangens: $\theta = \tan^{-1}(0,333)$.
- Berechne: $\theta \approx 18,43^\circ$.
Häufige Fehler
Verwendung der Hypotenuse
Der Tangens verwendet NIEMALS die Hypotenuse. Er ist nur Gegenkathete und Ankathete. Wenn Sie die Hypotenuse haben, verwenden Sie Sinus oder Kosinus.
tan(90°)
Schüler versuchen oft, $\tan(90^\circ)$ zu berechnen und erhalten "Fehler" oder nehmen an, es sei 0. Es ist NICHT DEFINIERT (unendlich), weil die Ankathete 0 wird.
Reale Anwendungen
Vermessung & Kartierung
Vermessungsingenieure verwenden ein Instrument namens Theodolit, um horizontale und vertikale Winkel zu messen. Durch Kenntnis des Winkels und einer Basisentfernung (Ankathete) verwenden sie die Tangensfunktion, um Höhen von Bergen oder Wahrzeichen zu berechnen, ohne sie zu besteigen.
Physik: Reibungskoeffizient
Wenn man einen Block auf eine Rampe legt und diese langsam neigt, beginnt der Block bei einem bestimmten Winkel $\theta$ zu rutschen. Der "Haftreibungskoeffizient" $\mu$ ist genau gleich $\tan(\theta)$. Dieses einfache Experiment ermöglicht es Physikern, Reibungseigenschaften von Materialien zu bestimmen.
Häufig gestellte Fragen
Warum ist tan(45°) = 1?
Bei 45 Grad ist das Dreieck ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck. Die Gegenkathete und Ankathete sind genau gleich lang. Jede Zahl geteilt durch sich selbst ist 1.
Wie hängt Tangens mit Steigung zusammen?
Sie sind dasselbe! Die Steigung $m$ einer Linie ist definiert als $\frac{\text{Anstieg}}{\text{Laufweite}}$, was genau $\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ oder $\tan(\theta)$ ist.