Sinus-Definition
Beschreibung
Die Sinusfunktion (abgekürzt $\sin$) ist eines der drei primären trigonometrischen Verhältnisse und bildet zusammen mit Kosinus und Tangens das Fundament der Trigonometrie. Sie setzt den Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ins Verhältnis zur Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite (Gegenkathete) und der Länge der Hypotenuse.
Die Eselsbrücke **GAGA Hühnerhof AG** (oder SOH CAH TOA im Englischen) hilft, sich diese Definition zu merken: * **S**inus = **G**egenkathete / **H**ypotenuse * Cosinus = Ankathete / Hypotenuse * Tangens = Gegenkathete / Ankathete
Jenseits von Dreiecken ist die Sinusfunktion grundlegend für die Beschreibung periodischer Phänomene. Am Einheitskreis (ein Kreis mit Radius 1) entspricht die y-Koordinate des Punktes auf dem Kreis genau $\sin(\theta)$, wenn man einen Winkel $\theta$ von der positiven x-Achse misst. Dies ermöglicht die Definition des Sinus für alle reellen Zahlen, nicht nur für Winkel zwischen 0° und 90°.
Geschichte & Ursprünge
Das Konzept des Sinus hat eine reiche Geschichte, die sich über Zivilisationen erstreckt. Altes Indien (ca. 500 n. Chr.): Der Mathematiker Aryabhata verwendete den Begriff ardha-jya (Halbsehne), um den Sinus zu beschreiben. Dies wurde später zu jya oder jiva verkürzt. Islamisches Goldenes Zeitalter (ca. 800 n. Chr.): Arabische Mathematiker übersetzten die Sanskrit-Texte. Sie transliterierten jiva ins Arabische als jiba. Da Arabisch ohne kurze Vokale geschrieben wird, wurde es als jb geschrieben. Spätere Leser interpretierten dies als jayb, was auf Arabisch "Tasche" oder "Falte" bedeutet. Mittelalterliches Europa (ca. 1150 n. Chr.): Als Gherard von Cremona diese arabischen Texte ins Lateinische übersetzte, übersetzte er jayb mit dem lateinischen Wort für Tasche/Falte: sinus. Diese Fehlübersetzung blieb haften und gab uns das moderne Wort "Sinus".
Definition am Einheitskreis
Die Sinusfunktion erstreckt sich über rechtwinklige Dreiecke hinaus unter Verwendung des Einheitskreises.
Zeichne einen Kreis mit Radius $r=1$, zentriert bei $(0,0)$.
Zeichne eine Linie vom Ursprung, die einen Winkel $\theta$ mit der positiven x-Achse bildet.
Diese Linie schneidet den Kreis in einem Punkt $P(x,y)$.
Zeichne eine vertikale Linie von $P$ hinunter zur x-Achse, um ein rechtwinkliges Dreieck zu bilden.
Die Hypotenuse ist der Radius, also $H = 1$.
Die dem Winkel $\theta$ gegenüberliegende Seite ist die vertikale Höhe $y$.
Per Definition ist $\sin(\theta) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{y}{1} = y$.
Somit ist der Sinus am Einheitskreis einfach die y-Koordinate.
Variablen
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
θ | Winkel (in Grad oder Radiant) |
Gegenkathete | Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite |
Hypotenuse | Länge der längsten Seite (gegenüber 90°) |
Beispiel
Grundberechnung
Problem : Finde sin(30°)
Lösung :
Leiter-Problem
Problem : Eine 10 Meter lange Leiter lehnt an einer Wand und bildet einen 60°-Winkel mit dem Boden. Wie hoch reicht sie an der Wand?
Lösung : ~8,66 Meter
- Bekannt: Hypotenuse (Leiter) = 10m, Winkel $\theta = 60^\circ$.
- Unbekannt: Gegenkathete (Höhe der Wand).
- Verhältnis wählen: Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse.
- Gleichung: $\sin(60^\circ) = \frac{h}{10}$.
- Löse nach h: $h = 10 \times \sin(60^\circ)$.
- Berechne: $h = 10 \times 0,866 = 8,66$ Meter.
Schallwellen
Problem : Ein reiner Ton wird modelliert durch $y(t) = A \sin(2\pi f t)$. Wenn Amplitude A=5 und Frequenz f=440Hz, was ist der Wert bei t=0,001s?
Lösung : ~1,91
- Gleichung: $y = 5 \sin(2\pi \times 440 \times 0,001)$.
- Winkel berechnen: $2\pi \times 0,44 \approx 2,76$ Radiant.
- Sinus berechnen: $\sin(2,76) \approx 0,38$.
- Mit Amplitude multiplizieren: $5 \times 0,38 = 1,9$.
Häufige Fehler
Grad vs Radiant
Taschenrechner haben zwei Modi. $\sin(30^\circ) = 0,5$, aber $\sin(30 \text{ rad}) = -0,98$. Überprüfen Sie immer Ihren Modus!
Verwechslung von Sinus und Kosinus
Erinnere dich: Sinus ist Gegenkathete, Kosinus ist Ankathete. Wenn die Seite den Winkel berührt, ist es die Ankathete (Kosinus).
Reale Anwendungen
Klang und Musik
Musikalische Töne sind Schallwellen, die aus Sinuswellen mit verschiedenen Frequenzen bestehen. Synthesizer erzeugen Klänge, indem sie mehrere Sinuswellen addieren.
Wechselstrom (AC)
Die Elektrizität in Ihrer Steckdose wechselt die Richtung in einem glatten Sinuswellenmuster. Ingenieure verwenden Sinusfunktionen, um Spannung und Strom über die Zeit zu modellieren.
Häufig gestellte Fragen
Warum liegt der Sinus zwischen -1 und 1?
In einem rechtwinkligen Dreieck kann die Gegenkathete nie länger als die Hypotenuse sein, daher kann das Verhältnis 1 nicht überschreiten. Am Einheitskreis geht die y-Koordinate von -1 (unten) bis 1 (oben).
Was ist der Arkussinus?
Der Arkussinus ($\sin^{-1}$) macht das Gegenteil: Er nimmt ein Verhältnis und gibt den Winkel zurück. Wenn $\sin(\theta) = 0,5$, dann ist $\theta = 30^\circ$.