Quadratische Lösungsformel
Beschreibung
Die quadratische Lösungsformel (oft auch "Mitternachtsformel" genannt) ist eines der mächtigsten Werkzeuge der Algebra. Sie bietet einen universellen Weg, um jede Polynomgleichung 2. Grades zu lösen. Im Gegensatz zum Faktorisieren, das nur bei einfachen Zahlen funktioniert, liefert diese Formel immer ein Ergebnis – egal ob die Lösungen ganze Zahlen, Brüche, irrationale Zahlen oder sogar imaginäre Zahlen sind.
Geometrisch betrachtet repräsentiert eine quadratische Gleichung eine Parabel. Die mit diser Formel berechneten "Wurzeln" oder "Lösungen" sind einfach die Punkte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet (Nullstellen). Der Term unter der Wurzel, $b^2 - 4ac$, wird **Diskriminante** genannt. Er verrät die Art der Lösungen: * Wenn positiv: Zwei verschiedene reelle Lösungen. * Wenn null: Eine reelle Lösung (der Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse). * Wenn negativ: Zwei komplexe (imaginäre) Lösungen.
Geschichte & Ursprünge
Die Suche nach der Lösung quadratischer Gleichungen reicht fast 4000 Jahre zurück. Babylonier (ca. 2000 v. Chr.): Sie konnten spezifische Probleme lösen, die wir heute als quadratische Gleichungen bezeichnen würden, indem sie eine geometrische Methode der "quadratischen Ergänzung" verwendeten, besaßen aber keine allgemeine algebraische Formel. Antikes Griechenland (ca. 300 v. Chr.): Euklid entdeckte einen geometrischen Ansatz. Brahmagupta (628 n. Chr.): Der indische Mathematiker Brahmagupta war der erste, der in seinem Buch Brahmasphutasiddhanta eine explizite, allgemeine Lösung lieferte. Seine verbale Anleitung entspricht der Formel, die wir heute verwenden. Simon Stevin (1585): Erst in der europäischen Renaissance führte die standardisierte Notation dazu, dass die Formel so aussah wie die $x = ...$ Version, die wir heute in der Schule lernen.
Herleitung durch quadratische Ergänzung
Die Formel ergibt sich direkt aus der Lösung der allgemeinen Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ mittels quadratischer Ergänzung.
Satarte mit der Standardform: $ax^2 + bx + c = 0$
Teile alles durch $a$, um $x^2$ zu isolieren: $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
Bringe den konstanten Term nach rechts: $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
Quadratische Ergänzung: Addiere $(\frac{b}{2a})^2$ auf beiden Seiten.
Faktorisiere die linke Seite: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$
Finde einen gemeinsamen Nenner rechts: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten: $x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Isoliere $x$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Variablen
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
a | Koeffizient von x² (darf nicht 0 sein) |
b | Koeffizient von x |
c | Konstanter Term (y-Achsenabschnitt) |
Beispiel
Grundberechnung
Problem : Löse 2x² + 5x - 3 = 0
Lösung :
Physik: Wurfparabel
Problem : Ein Ball wird nach oben geworfen. Seine Höhe h in Metern nach t Sekunden ist $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Wann trifft er auf dem Boden auf (h=0)?
Lösung : ~4,1 Sekunden
- Identifiziere Koeffizienten von $-5t^2 + 20t + 2 = 0$: a=-5, b=20, c=2.
- Einsetzen in die Formel: $t = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4(-5)(2)}}{2(-5)}$
- Vereinfache Diskriminante: $400 - (-40) = 440$.
- Löse: $t = \frac{-20 \pm \sqrt{440}}{-10}$
- Berechne: $\sqrt{440} \approx 20,98$
- Zwei Fälle: $t \approx 4,1$ und $t \approx -0,1$.
- Negative Zeit verwerfen. Der Ball trifft bei t ≈ 4,1 Sekunden auf.
Komplexe Wurzeln (Imaginäre Zahlen)
Problem : Löse $x^2 + 4x + 5 = 0$
Lösung : -2 ± i
- Identifiziere: a=1, b=4, c=5.
- Diskriminante: $b^2 - 4ac = 16 - 20 = -4$.
- Da negativ, keine reellen Wurzeln.
- Wurzel aus -4 ist $2i$.
- Formel: $x = \frac{-4 \pm 2i}{2}$
- Vereinfache: $x = -2 \pm i$.
Häufige Fehler
Falsches Vorzeichen für -b
Wenn b negativ ist (z.B. -5), wird -b positiv (+5).
Bruchstrich zu kurz
Der Bruchstrich muss unter den GESAMTEN Zähler gehen.
Reale Anwendungen
Ballistik & Sport
Jeder unter Schwerkraft geworfene Gegenstand folgt einer Parabel. Die Formel berechnet exakt die Flugdauer.
Wirtschaft
Gewinnkurven sind oft quadratisch. Das Finden des Scheitelpunkts hilft Unternehmen, den optimalen Preis zu finden.
Häufig gestellte Fragen
Warum heißt es "Mitternachtsformel"?
Ein beliebter Name im deutschsprachigen Raum, weil Schüler sie so gut kennen sollten, dass sie sie auch aufsagen können, wenn man sie um Mitternacht weckt.