Pythagoreische Identität
Beschreibung
Die Pythagoreische Identität ist die wichtigste Gleichung in der Trigonometrie. Sie schlägt die Brücke zwischen Geometrie (dem Satz des Pythagoras) und Trigonometrie (Sinus und Kosinus).
Sie besagt, dass für *jeden* Winkel $\theta$ das Quadrat des Sinus dieses Winkels plus das Quadrat des Kosinus dieses Winkels immer genau 1 ergibt.
Diese Identität wird direkt vom Einheitskreis abgeleitet, wo jeder Punkt $(x, y)$ auf dem Kreis die Gleichung $x^2 + y^2 = 1$ erfüllt. Da $x = \cos(\theta)$ und $y = \sin(\theta)$ ist, folgt direkt, dass $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$.
Geschichte & Ursprünge
Während der Satz für Dreiecke nach Pythagoras (ca. 570 v. Chr.) benannt ist, wurde die trigonometrische Form viel später entwickelt. Claudius Ptolemäus (ca. 100 n. Chr.): Verwendete Sehnentafeln, die implizit auf dieser Beziehung beruhten. Indische Mathematiker (ca. 500 n. Chr.): Aryabhata nutzte explizit die Beziehung $\sin^2 + \cos^2 = 1$ für astronomische Berechnungen.
Beweis mit dem Einheitskreis
Wir leiten die Identität direkt aus der Definition des Einheitskreises ab.
Betrachte einen Einheitskreis im Ursprung $(0,0)$ mit Radius $r=1$.
Die Gleichung dieses Kreises ist $x^2 + y^2 = 1$.
Zeichne einen Winkel $\theta$. Die Endseite schneidet den Kreis im Punkt $P(x,y)$.
Nach Definition von Sinus und Kosinus: $x = \cos(\theta)$ und $y = \sin(\theta)$.
Setze diese in die Kreisgleichung ein: $(\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2 = 1$.
Vereinfacht: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
Variablen
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
θ | Winkel (jede reelle Zahl) |
sin²θ | Quadrat des Sinus |
cos²θ | Quadrat des Kosinus |
Beispiel
Grundberechnung
Problem : Überprüfe für θ = 30°
Lösung :
Fehlenden Wert finden
Problem : Wenn $\sin(\theta) = \frac{3}{5}$ und $\theta$ im ersten Quadranten liegt, finde $\cos(\theta)$.
Lösung : 4/5
- Identität: $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$.
- Einsetzen: $(\frac{3}{5})^2 + \cos^2(\theta) = 1$.
- Quadrieren: $\frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1$.
- Subtrahieren: $\cos^2(\theta) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
- Wurzel ziehen: $\cos(\theta) = \pm \frac{4}{5}$.
- Da im 1. Quadranten, ist Kosinus positiv: $\frac{4}{5}$.
Ausdrücke vereinfachen
Problem : Vereinfache $5 - 5\sin^2(x)$.
Lösung : $5\cos^2(x)$
- Klammere 5 aus: $5(1 - \sin^2(x))$.
- Stelle Identität um: $1 - \sin^2 = \cos^2$.
- Einsetzen: $5(\cos^2(x))$.
Häufige Fehler
Denken, dass sin(x) + cos(x) = 1
Das ist falsch. Die Identität gilt für die **Quadrate**. Für $45^\circ$ ist die Summe $\sqrt{2} \approx 1,414$, nicht 1.
Reale Anwendungen
Elektrotechnik
In Wechselstromkreisen bildet die Beziehung zwischen Wirkleistung (P), Blindleistung (Q) und Scheinleistung (S) ein "Leistungsdreieck", das dieser Identität folgt ($S^2 = P^2 + Q^2$).
Häufig gestellte Fragen
Warum schreiben wir sin²θ?
Das ist eine Konvention, um Verwirrung zu vermeiden. $\sin \theta^2$ könnte bedeuten, dass der Winkel quadriert wird.