Potenzregel (Integral)
Beschreibung
Die Potenzregel für die Integration ist die Umkehroperation der Potenzregel für die Differentiation. Sie ermöglicht es, die Stammfunktion einer Funktion wie $x^2$, $x^5$ oder $\sqrt{x}$ mit einem einfachen zweistufigen Prozess zu finden: 1. Addiere eins zum Exponenten. 2. Teile durch den neuen Exponenten.
Du musst auch eine **Integrationskonstante ($+C$)** hinzufügen, da die Ableitung jeder Konstanten Null ist, was bedeutet, dass wir den ursprünglichen konstanten Wert nicht allein aus der Ableitung kennen können.
**Wichtige Einschränkung:** Diese Regel funktioniert für alle reellen Zahlen $n$ *außer* $n = -1$. Wenn $n = -1$ (d.h. $\frac{1}{x}$), würde die Regel eine Division durch Null verursachen. Das Integral von $x^{-1}$ ist ein Sonderfall: $\ln|x| + C$.
Geschichte & Ursprünge
Die Entdeckung von Integrationsformeln geht der Differentiation voraus. Bonaventura Cavalieri (1635): Ein italienischer Mathematiker, der seine "Methode der Indivisiblen" verwendete, um die Fläche unter Kurven $y=x^n$ zu berechnen. Er leitete die Regel für ganzzahlige Potenzen bis $n=9$ erfolgreich ab. John Wallis (1655): Er erweiterte Cavalieris Arbeit und schlug vor, dass die Regel auch für gebrochene und negative Exponenten gilt.
Beweis durch Differentiation
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass Integration und Differentiation umgekehrte Operationen sind. Wir können die Integralformel beweisen, indem wir das Ergebnis ableiten.
Wir behaupten, dass $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Um dies zu beweisen, leiten wir die rechte Seite ab: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \right)$.
Die Ableitung der Konstanten $C$ ist 0.
Wende die Potenzregel für Ableitungen auf $x^{n+1}$ an: Bringe $(n+1)$ nach vorne und subtrahiere 1 vom Exponenten.
$\frac{d}{dx} (x^{n+1}) = (n+1)x^{(n+1)-1} = (n+1)x^n$.
Multipliziere mit dem konstanten Faktor: $\frac{1}{n+1} \cdot (n+1)x^n$.
Die Terme $(n+1)$ heben sich auf, übrig bleibt nur $x^n$.
Da die Ableitung des Ergebnisses gleich dem Integranden ($x^n$) ist, ist die Formel korrekt.
Variablen
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
n | Potenz/Exponent (Jede reelle Zahl außer -1) |
x | Variable |
C | Integrationskonstante |
∫ | Integralzeichen |
Beispiel
Grundberechnung
Problem : Integriere x³
Lösung :
Gebrochene Exponenten (Wurzeln)
Problem : Finde $\int \sqrt{x} \, dx$.
Lösung : $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$
- Schreibe Wurzel als Exponent: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
- Identifiziere $n = 1/2$.
- Addiere 1 zum Exponenten: $1/2 + 1 = 3/2$.
- Teile durch den neuen Exponenten: $\frac{x^{3/2}}{3/2}$.
- Vereinfache: Teilen durch $3/2$ ist Multiplizieren mit $2/3$.
- Ergebnis: $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$.
Bestimmtes Integral (Fläche)
Problem : Berechne $\int_0^2 x^2 \, dx$.
Lösung : 8/3
- Finde Stammfunktion: $\frac{x^3}{3}$.
- Wende Hauptsatz an: $F(2) - F(0)$.
- Werte bei 2 aus: $\frac{2^3}{3} = \frac{8}{3}$.
- Werte bei 0 aus: $\frac{0^3}{3} = 0$.
- Subtrahiere: $\frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.
Häufige Fehler
Vergessen von +C
Bei unbestimmten Integralen musst du $+C$ hinzufügen. Wenn nicht, stellst du nur eine spezifische Kurve dar statt der ganzen Familie möglicher Lösungen.
Verwendung für n = -1
Du kannst $\int x^{-1} dx$ nicht mit dieser Regel berechnen, da du durch Null teilen würdest. Das korrekte Integral für $\frac{1}{x}$ ist $\ln|x| + C$.
Reale Anwendungen
Physik: Von Geschwindigkeit zu Position
In der Physik ist Geschwindigkeit die Ableitung der Position. Um rückwärts zu gehen – die Position eines Objekts anhand seiner Geschwindigkeitsfunktion zu finden – integriert man. Wenn $v(t) = 3t^2$, dann ist die Position $x(t) = \int 3t^2 dt = t^3 + C$. Die Konstante $C$ stellt die Startposition dar.
Häufig gestellte Fragen
Was ist C?
C ist die "Integrationskonstante". Sie berücksichtigt jeden konstanten Wert, der in der ursprünglichen Funktion gewesen sein könnte, da das Ableiten einer Konstanten Null ergibt.