Arithmetisches Mittel
Beschreibung
Das arithmetische Mittel, gemeinhin einfach als "Durchschnitt" bekannt, ist das fundamentalste Maß der zentralen Tendenz in Statistik und Mathematik. Er repräsentiert den theoretischen "Gleichgewichtspunkt" oder Schwerpunkt eines Datensatzes. Wenn man Gewichte auf einen gewichtslosen Hebel legen würde, die dem Wert jedes Datenpunkts entsprechen, müsste der Drehpunkt genau am Mittelwert platziert werden, um den Balken auszubalancieren.
Mathematisch ist es definiert als die Summe aller Werte geteilt durch die Gesamtzahl der Werte. Obwohl intuitiv und leicht zu berechnen, hat der Mittelwert eine spezifische Eigenschaft: Er ist empfindlich gegenüber extremen Ausreißern. Wenn zum Beispiel zehn Personen in einem Raum 50.000 € verdienen und ein Milliardär hereinkommt, der 1.000.000.000 € verdient, wird das Durchschnittseinkommen stark nach oben verzerrt und spiegelt möglicherweise nicht die "typische" Person wider (wofür der Median ein besseres Maß sein könnte).
Der Mittelwert wird durch $\bar{x}$ (gelesen "x-quer") bezeichnet, wenn er sich auf eine Datenstichprobe bezieht, und durch den griechischen Buchstaben $\mu$ (mu), wenn er sich auf eine gesamte Population bezieht.
Geschichte & Ursprünge
Das Konzept des "Mittels" oder der "Mitte" wird seit der Antike studiert. Pythagoreer (ca. 500 v. Chr.): Der griechische Mathematiker Archytas von Tarent, ein Zeitgenosse Platons, unterschied zwischen drei Arten von Mitteln: dem Arithmetischen Mittel, dem Geometrischen Mittel und dem Harmonischen Mittel. Für die Pythagoreer waren diese Verhältnisse mit der Musiktheorie und der Harmonie des Universums verbunden. Adolphe Quetelet (19. Jahrhundert): Ein belgischer Statistiker, der das Konzept des "Durchschnittsmenschen" (l'homme moyen) einführte und das arithmetische Mittel auf menschliche physische und soziale Merkmale anwandte, was den Grundstein für die moderne Soziologie legte.
Beweis: Summe der Abweichungen ist Null
Eine Schlüsseleigenschaft des Mittelwerts ist, dass die Summe der Abstände (Abweichungen) aller Datenpunkte vom Mittelwert immer Null ist. Dies bestätigt, dass er der Schwerpunkt ist.
Sei die Abweichung eines Punktes $x_i$ vom Mittelwert $\bar{x}$ bezeichnet als $d_i = x_i - \bar{x}$.
Wir wollen die Summe aller Abweichungen finden: $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})$.
Verteile die Summation: $\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}$.
Da $\bar{x}$ eine Konstante ist (sie ändert sich nicht mit i), ist $\sum_{i=1}^{n} \bar{x} = n\bar{x}$.
Der Ausdruck wird also zu: $\sum_{i=1}^{n} x_i - n\bar{x}$.
Erinnere dich an die Definition des Mittelwerts: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$. Multipliziere beide Seiten mit n, um $\sum x_i = n\bar{x}$ zu erhalten.
Ersetze $\sum x_i$ durch $n\bar{x}$: $n\bar{x} - n\bar{x} = 0$.
Schlussfolgerung: Die Summe der Abweichungen vom Mittelwert ist immer Null.
Variablen
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
x̄ | Stichprobenmittelwert (gelesen "x-quer") |
μ | Populationsmittelwert (gelesen "mu") |
n | Anzahl der Werte (Zählung) |
Σ | Summation (Sigma) - alles aufaddieren |
xᵢ | Einzelne Werte im Datensatz |
Beispiel
Grundberechnung
Problem : Finden Sie den Mittelwert der Testergebnisse: 70, 80, 80, 90, 100
Lösung :
Notendurchschnitt (GPA)
Problem : Ein Schüler hat folgende Noten: Mathe (95), Geschichte (85), Naturwissenschaften (70), Kunst (90). Was ist die Durchschnittsnote?
Lösung : 85
- Liste die Werte auf: $x_1=95, x_2=85, x_3=70, x_4=90$.
- Zähle die Elemente: $n = 4$.
- Berechne die Summe ($\Sigma x$): $95 + 85 + 70 + 90 = 340$.
- Teile durch n: $\bar{x} = 340 / 4$.
- Ergebnis: 85.
Sport: Punkte pro Spiel
Problem : Ein Basketballspieler erzielt in 4 Spielen 12, 25, 18 und 15 Punkte. Was ist sein Punktedurchschnitt?
Lösung : 17,5 PPG
- Summe: $12 + 25 + 18 + 15 = 70$.
- Anzahl: 4 Spiele.
- Mittelwert: $70 / 4 = 17,5$.
- Der Spieler erzielt durchschnittlich 17,5 Punkte pro Spiel.
Häufige Fehler
Verwechslung von Mittelwert und Median
Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch die Anzahl. Der Median ist die mittlere Zahl, wenn sortiert. Sie sind unterschiedlich, besonders wenn es Ausreißer gibt.
Durchschnitt von Durchschnitten
Wenn Klasse A 10 Schüler mit Durchschnitt 90 hat und Klasse B 100 Schüler mit Durchschnitt 80, kann man nicht einfach (90+80)/2 = 85 sagen. Man muss ein "Gewichtetes Mittel" basierend auf der Klassengröße verwenden.
Reale Anwendungen
Finanzen & Wirtschaft
Der Mittelwert wird verwendet, um Aktienrenditen über die Zeit zu berechnen oder den "Gleitenden Durchschnitt", um Preisschwankungen zu glätten. In der Wirtschaft ist das BIP pro Kopf das arithmetische Mittel der gesamten Wirtschaftsleistung eines Landes geteilt durch seine Bevölkerung.
Signalverarbeitung
In der Elektronik ist der "DC-Offset" eines Signals im Wesentlichen seine mittlere Spannung. Ingenieure berechnen oft den Mittelwert, um die DC-Komponente zu entfernen und sich auf die AC-Komponente (Schwankungen) zu konzentrieren.
Häufig gestellte Fragen
Wann sollte ich den Median statt des Mittelwerts verwenden?
Verwenden Sie den Median, wenn Ihre Daten extreme Ausreißer haben (wie Hauspreise oder Gehälter), da der Mittelwert durch sehr hohe oder niedrige Werte verzerrt werden kann.
Was ist der Unterschied zwischen x-quer und mu?
$\bar{x}$ ist für eine STICHPROBE (ein Teil der Daten). $\mu$ ist für die POPULATION (alle möglichen Daten). Die Berechnung ist die gleiche, aber die Notation zeigt den Umfang an.