Kosinus-Definition
Beschreibung
Die Kosinusfunktion (abgekürzt $\cos$) ist eines der fundamentalen trigonometrischen Verhältnisse. Zusammen mit Sinus und Tangens setzt sie die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ins Verhältnis zu den Längen seiner Seiten. Genauer gesagt verbindet der Kosinus den Winkel mit der Ankathete und der Hypotenuse.
Die Eselsbrücke **GAGA Hühnerhof AG** (oder SOH CAH TOA im Englischen) hilft dabei: * Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse * **C**osinus = **A**nkathete / **H**ypotenuse * Tangens = Gegenkathete / Ankathete
Am Einheitskreis (ein Kreis mit Radius 1, zentriert im Ursprung) ist der Kosinus eines Winkels $\theta$ als die **x-Koordinate** des Punktes definiert, an dem der Schenkel des Winkels den Kreis schneidet. Diese Definition ermöglicht es, den Kosinus auf jede reelle Zahl zu erweitern, einschließlich negativer Winkel und Winkel über 360°, wo er ein periodisches Wellenmuster bildet, das für Physik und Technik unerlässlich ist.
Geschichte & Ursprünge
Die Geschichte des Kosinus verläuft parallel zu der des Sinus. Altes Indien (ca. 500 n. Chr.): Während der Sinus (jya) der Hauptfokus war, wurde das Konzept des "komplementären Sinus" oder koti-jya verwendet, um das zu beschreiben, was wir heute Kosinus nennen. Es bedeutete wörtlich den Sinus des Komplementärwinkels (90° - $\theta$). Edmund Gunter (1620): Er führte den Begriff "co-sine" als Abkürzung für complementi sinus (Sinus des Komplements) ein und festigte die Beziehung $\cos(\theta) = \sin(90^\circ - \theta)$. Euler (1700er): Leonhard Euler popularisierte die moderne Notation $\cos$ und behandelte sie als Funktion einer reellen Zahl und nicht nur als geometrisches Liniensegment, was den Weg für die moderne Analysis ebnete.
Definition am Einheitskreis
Die Kosinusfunktion wird geometrisch am besten am Einheitskreis verstanden.
Zeichne einen Kreis mit Radius $r=1$ in einem kartesischen Koordinatensystem.
Zeichne einen Winkel $\theta$ beginnend von der positiven x-Achse.
Der Schenkel des Winkels berührt den Kreis an einem Punkt $P(x, y)$.
Fälle ein Lot von $P$ auf die x-Achse, um ein rechtwinkliges Dreieck zu bilden.
Die **Hypotenuse** ist der Radius ($r=1$).
Die **Ankathete** ist der horizontale Abstand vom Ursprung, also $x$.
Per Definition ist $\cos(\theta) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{x}{1} = x$.
Daher ist der Kosinus am Einheitskreis einfach die x-Koordinate.
Variablen
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
θ | Winkel (Grad oder Radiant) |
Ankathete | Seite neben dem Winkel (berührt ihn) |
Hypotenuse | Längste Seite (gegenüber dem 90°-Winkel) |
Beispiel
Grundberechnung
Problem : Finde cos(60°)
Lösung :
Rampenkonstruktion
Problem : Sie bauen eine Rampe mit einer 10 Meter langen Planke. Wenn die Rampe einen 30°-Winkel mit dem Boden bilden soll, wie weit von der Basis der Wand entfernt beginnt sie?
Lösung : ~8,66 Meter
- Bekannt: Hypotenuse (Planke) = 10m, Winkel = 30°.
- Unbekannt: Ankathete (Abstand am Boden).
- Verhältnis: Kosinus = Ankathete / Hypotenuse.
- Gleichung: $\cos(30^\circ) = \frac{x}{10}$.
- Löse: $x = 10 \times \cos(30^\circ)$.
- Berechne: $x = 10 \times 0,866 = 8,66$ Meter.
Vektorkomponenten
Problem : Ein Kraftvektor von 50 Newton wirkt in einem Winkel von 45° zur Horizontalen. Was ist die horizontale Komponente ($F_x$)?
Lösung : ~35,35 N
- Formel: $F_x = F \times \cos(\theta)$.
- Einsetzen: $F_x = 50 \times \cos(45^\circ)$.
- Wir wissen $\cos(45^\circ) \approx 0,707$.
- Berechne: $50 \times 0,707 = 35,35$ N.
Häufige Fehler
Verwechslung von Ankathete und Gegenkathete
Die Ankathete berührt IMMER den Winkel, an dem du interessiert bist (und den rechten Winkel). Die Gegenkathete berührt den Winkel nicht.
Taschenrechner im falschen Modus
$\\cos(90^\circ) = 0$, aber $\\cos(90 \\text{ rad}) \\approx -0,448$. Prüfe immer, ob du in Grad (DEG) oder Radiant (RAD) bist.
Reale Anwendungen
Computergrafik (Beleuchtung)
Im 3D-Rendering berechnet das "Lambertsche Kosinusgesetz" die Lichtintensität. Die Helligkeit einer Oberfläche hängt vom Kosinus des Winkels zwischen der Lichtquelle und der Oberflächennormalen ab. Wenn Licht direkt auftrifft (0°), ist es am hellsten ($\cos(0)=1$).
Physik: Arbeit
Die Formel für Arbeit ist $W = F d \cos(\theta)$. Nur die Kraftkomponente, die *in Bewegungsrichtung* wirkt, verrichtet Arbeit. Der Kosinus filtert die verschwendete Kraft heraus, die zur Seite drückt.
Häufig gestellte Fragen
Warum ist cos(0) = 1?
Bei 0 Grad ist der Winkel flach. Die "Ankathete" liegt perfekt auf der Hypotenuse, ihre Längen sind also gleich. Verhältnis = 1/1 = 1.
Was ist der "Kosinussatz"?
Es ist ein verallgemeinerter Satz des Pythagoras für NICHT-rechtwinklige Dreiecke: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$. Er funktioniert für jedes Dreieck.