Kettenregel
Beschreibung
Die Kettenregel ist das fundamentale Werkzeug zur Differenzierung verketteter Funktionen – also Funktionen innerhalb anderer Funktionen, wie $\sin(x^2)$ oder $(2x+1)^5$. Sie besagt, dass die Ableitung einer verketteten Funktion die Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion ist.
Eine gängige Merkregel lautet **"äußere Ableitung mal innere Ableitung"**.
**Intuitive Analogie (Zahnräder):** Stellen Sie sich drei Zahnräder vor. Wenn Zahnrad A das Zahnrad B doppelt so schnell dreht ($dy/du=2$) und Zahnrad B das Zahnrad C dreimal so schnell dreht ($du/dx=3$), dann dreht Zahnrad A das Zahnrad C $2 \times 3 = 6$ mal so schnell. Man multipliziert einfach die Raten.
In der Leibniz-Schreibweise gilt: Wenn $y = f(u)$ und $u = g(x)$, dann ist: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
Diese Schreibweise ist unglaublich intuitiv, da es so aussieht, als würden sich die $du$-Terme "kürzen", obwohl Ableitungen technisch gesehen keine Brüche sind. Die Kettenregel erlaubt es uns, die Schichten komplexer Funktionen wie eine Zwiebel zu schälen und eine Schicht nach der anderen zu lösen.
Geschichte & Ursprünge
Die Kettenregel ist eine der ältesten Regeln im Kalkül und eng mit dessen Erfindung verbunden. Gottfried Wilhelm Leibniz (1676): Leibniz entdeckte die Regel, um algebraische Funktionen der Form $\sqrt{a + bz + cz^2}$ zu handhaben. Guillaume de l'Hôpital (1696): Er nahm die Regel in sein Lehrbuch Analyse des Infiniment Petits auf, das erste Lehrbuch über Differentialrechnung.
Beweis mit Grenzwerten
Wir verwenden die Grenzwertdefinition der Ableitung für die verkettete Funktion $f(g(x))$.
Sei $y = f(g(x))$. Wir wollen $\lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}$ finden.
Multipliziere und dividiere mit $[g(x+h) - g(x)]$: $\lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)} \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$.
Der erste Term ist die Ableitung der äußeren Funktion $f'(g(x))$.
Der zweite Term ist die Ableitung der inneren Funktion $g'(x)$.
Ergebnis: $f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Variablen
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
f(u) | Äußere Funktion |
g(x) | Innere Funktion (u) |
f' | Ableitung der äußeren Funktion |
g' | Ableitung der inneren Funktion |
Beispiel
Grundberechnung
Problem : Finde die Ableitung von y = (3x² + 1)⁵
Lösung :
Potenz eines Polynoms
Problem : Leite ab: $h(x) = (3x^2 + 1)^5$.
Lösung : $30x(3x^2 + 1)^4$
- Identifiziere Innen und Außen: Innen $u = 3x^2 + 1$. Außen $y = u^5$.
- Leite Außen ab: $\frac{dy}{du} = 5u^4 = 5(3x^2 + 1)^4$.
- Leite Innen ab: $\frac{du}{dx} = 6x$.
- Multipliziere: $5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x$.
- Vereinfache: $30x(3x^2 + 1)^4$.
Trigonometrische Funktion
Problem : Leite ab: $y = \cos(e^x)$.
Lösung : $-e^x \sin(e^x)$
- Funktionen: Außen ist $\cos(u)$, Innen ist $u = e^x$.
- Ableitung Außen: $\frac{d}{du}(\cos(u)) = -\sin(u)$.
- Ableitung Innen: $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$.
- Kettenregel anwenden: $-\sin(e^x) \cdot e^x$.
- Ergebnis: $-e^x \sin(e^x)$.
Häufige Fehler
Innere Ableitung vergessen
Der häufigste Fehler ist, außen abzuleiten, aber zu vergessen, mit $g'(x)$ zu multiplizieren. Für $(2x)^3$ ist $3(2x)^2$ falsch. Es muss $3(2x)^2 \cdot 2 = 6(2x)^2$ sein.
Reale Anwendungen
Künstliche Intelligenz: Backpropagation
Dies ist wohl die wichtigste Anwendung in der modernen Welt. Neuronale Netze "lernen", indem sie Gewichte anpassen, um Fehler zu minimieren. Der **Backpropagation**-Algorithmus berechnet den Gradienten der Verlustfunktion bezüglich jedes Gewichts im Netzwerk. Dies ist im Wesentlichen die wiederholte Anwendung der Kettenregel vom Ausgang rückwärts zum Eingang.
Physik: Doppler-Effekt
Bei der Berechnung von Änderungsraten mit verschachtelten Abhängigkeiten (z. B. wie sich die wahrgenommene Schallfrequenz ändert, wenn sich ein Auto bewegt, wobei die Position von der Zeit abhängt) ermöglicht die Kettenregel Physikern, diese Raten miteinander zu verknüpfen.
Häufig gestellte Fragen
Kann ich sie für 3 Funktionen verwenden?
Ja! Für $f(g(h(x)))$ schälst du sie wie eine Zwiebel: $f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$. Einfach immer weiter mit der Ableitung der nächsten inneren Schicht multiplizieren.