Geometrische Folge
Beschreibung
Eine geometrische Folge ist eine Liste von Zahlen, bei der jedes Glied durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit einem konstanten Wert, dem **Quotienten ($r$)** (oder Wachstumsfaktor), ermittelt wird.
Die Formel $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ ermöglicht es dir, jedes Glied in der Folge zu berechnen. * $a_1$ ist das erste Glied. * $r$ ist der Multiplikator. * $n-1$ ist die Anzahl der Multiplikationen vom Start.
Dieses Verhalten beschreibt exponentielles Wachstum (wenn $r > 1$) oder exponentiellen Zerfall (wenn $0 < r < 1$).
Geschichte & Ursprünge
Geometrische Progressionen tauchen in einigen der ältesten mathematischen Geschichten auf. Das Weizenkorn-Schachbrett-Problem: Eine berühmte Legende aus Indien handelt von einem Weisen, der 1 Weizenkorn auf dem ersten Feld, 2 auf dem zweiten, 4 auf dem dritten usw. verlangte. Dies ist eine geometrische Folge mit $r=2$. Euklid (ca. 300 v. Chr.): Diskutierte geometrische Progressionen in den Elementen, Buch IX.
Herleitung durch Iteration
Wir können das Muster finden, indem wir die Terme Schritt für Schritt ausschreiben.
Glied 1: $a_1$
Glied 2: $a_2 = a_1 \cdot r$
Glied 3: $a_3 = a_1 \cdot r^2$
Glied 4: $a_4 = a_1 \cdot r^3$
Muster: Der Exponent von $r$ ist immer eins weniger als die Gliednummer ($n$).
Allgemeine Formel: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
Variablen
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
aₙ | Das n-te Glied |
a₁ | Erstes Glied |
n | Position des Gliedes |
r | Quotient (Faktor) |
Beispiel
Grundberechnung
Problem : Finde das 5. Glied der Folge 2, 6, 18, 54...
Lösung :
Bakterienwachstum
Problem : Eine Bakterienkultur beginnt mit 100 Zellen und verdoppelt sich jede Stunde. Wie viele Bakterien gibt es zu Beginn der 6. Stunde?
Lösung : 3.200
- Folge: 100, 200, 400...
- Erstes Glied $a_1 = 100$. Faktor $r = 2$.
- Wir wollen das 6. Glied ($n=6$).
- Formel: $a_6 = 100 \cdot 2^{6-1} = 100 \cdot 32 = 3.200$.
Wertverlust beim Auto
Problem : Ein Auto kostet 20.000€. Es behält 85% seines Wertes pro Jahr ($r=0,85$). Wert im 5. Jahr?
Lösung : 10.440€
- Start ($a_1$): 20.000. Faktor $r = 0,85$.
- Formel: $a_5 = 20.000 \cdot (0,85)^4$.
- Berechnen: $20.000 \cdot 0,522 = 10.440$.
Häufige Fehler
Verwendung von n statt n-1
Ein häufiger Fehler ist die Berechnung von $a_1 \cdot r^n$. Dies überspringt effektiv das erste Glied.
Reale Anwendungen
Finanzen: Zinseszins
Zinseszins ist eine geometrische Folge. Wenn du Geld zu 5% Zinsen anlegst, wird dein Geld jedes Jahr mit 1,05 multipliziert.
Musik: Oktaven
Musikalische Noten folgen einer geometrischen Progression. Die Frequenz eines "A" ist 440 Hz. Das nächste "A" (eine Oktave höher) ist 880 Hz ($r=2$).
Häufig gestellte Fragen
Kann r negativ sein?
Ja. Dies erzeugt eine alternierende Folge, bei der die Vorzeichen wechseln (z.B. 2, -4, 8...).