Binomischer Lehrsatz
Beschreibung
Der Binomische Lehrsatz bietet einen schnellen Weg, Ausdrücke der Form $(a+b)^n$ zu expandieren, wobei $n$ eine positive ganze Zahl ist. Anstatt $(a+b)$ manuell $n$-mal mit sich selbst zu multiplizieren, verwendet der Satz **Binomialkoeffizienten**, bezeichnet als $\binom{n}{k}$ (gelesen als "n über k"), um die Koeffizienten jedes Terms vorherzusagen.
Die Koeffizienten entsprechen direkt den Zeilen des **Pascalschen Dreiecks**. Zum Beispiel sind für $n=3$ die Koeffizienten 1, 3, 3, 1, was der dritten Zeile des Dreiecks entspricht.
Der Satz beginnt mit der höchsten Potenz von $a$ und der nullten Potenz von $b$ und verringert dann für jeden nachfolgenden Term die Potenz von $a$ um 1 und erhöht die Potenz von $b$ um 1, bis $b^n$ erreicht ist.
Geschichte & Ursprünge
Obwohl nach Newton benannt, war das Muster der Koeffizienten weltweit Jahrhunderte früher bekannt. Pingala (ca. 200 v. Chr.): Ein indischer Mathematiker, der das Pascalsche Dreieck im Kontext der Sanskrit-Poesie beschrieb. Al-Karaji (ca. 1000 n. Chr.): Ein persischer Mathematiker, der die Expansion für ganzzahlige Potenzen vollständig verstand. Yang Hui (ca. 1200 n. Chr.): Ein chinesischer Mathematiker, der das Dreieck präsentierte, das in China noch heute "Yang-Hui-Dreieck" genannt wird. Isaac Newton (1665): Newton verallgemeinerte den Satz, um nicht-ganzzahlige und negative Exponenten zuzulassen.
Beweis durch vollständige Induktion
Wir können durch Induktion beweisen, dass der Satz für alle ganzen Zahlen $n \geq 1$ wahr ist.
**Basisfall ($n=1$):** $(a+b)^1 = a + b$. Die Formel ergibt $\binom{1}{0}a^1b^0 + \binom{1}{1}a^0b^1 = 1a + 1b$. Passt.
**Induktionsschritt:** Angenommen, die Formel ist für ein $n$ wahr. Wir müssen zeigen, dass sie für $n+1$ funktioniert.
Betrachte $(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n$.
Ersetze die Formel für $(a+b)^n$.
Verteile sowohl $a$ als auch $b$ in die Summe.
Verwende die Pascal-Identität: $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$.
Die resultierenden Koeffizienten stimmen perfekt mit der Formel für $n+1$ überein.
Variablen
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
a, b | Terme im Binom |
n | Exponent (Positive ganze Zahl) |
k | Termindex (von 0 bis n) |
nCr | Binomialkoeffizient (n über k) |
Beispiel
Grundberechnung
Problem : Expandiere (x+2)³
Lösung :
Expansion mit Koeffizienten
Problem : Expandiere $(2x - 3)^3$.
Lösung : $8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$
- Identifiziere $a=2x$, $b=-3$, $n=3$.
- Koeffizienten für $n=3$ sind 1, 3, 3, 1.
- Term 1: $1 \cdot (2x)^3 (-3)^0 = 8x^3$.
- Term 2: $3 \cdot (2x)^2 (-3)^1 = -36x^2$.
- Term 3: $3 \cdot (2x)^1 (-3)^2 = 54x$.
- Term 4: $1 \cdot (2x)^0 (-3)^3 = -27$.
- Ergebnis: $8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$.
Näherung
Problem : Schätze $(1,01)^5$ ohne Taschenrechner.
Lösung : ~1,05
- Schreibe als $(1 + 0,01)^5$.
- Nutze die ersten zwei Terme: $a^n + n a^{n-1}b$.
- $1^5 + 5(1)^4(0,01)$.
- $1 + 5(0,01) = 1 + 0,05 = 1,05$.
Häufige Fehler
Der Anfängertraum (Freshman's Dream)
Zu denken, dass $(a+b)^n = a^n + b^n$ ist. Das ist falsch. Du musst die mittleren Terme einschließen.
Negative Vorzeichen vergessen
Wenn der Ausdruck $(a - b)^n$ ist, alternieren die Vorzeichen in der Expansion zwischen positiv und negativ.
Reale Anwendungen
Wahrscheinlichkeit: Münzwürfe
Der Binomische Lehrsatz ist die Grundlage der Binomialverteilung. Wenn man eine Münze $n$-mal wirft, wird die Anzahl der Möglichkeiten, genau $k$ Köpfe zu erhalten, durch $\binom{n}{k}$ angegeben.
Genetik
In der Mendelschen Genetik folgt die Verteilung von Merkmalen bei der Kreuzung zweier hybrider Eltern (Aa) binomialen Wahrscheinlichkeiten.
Häufig gestellte Fragen
Was ist "n über k"?
Es ist die Anzahl der Möglichkeiten, $k$ Elemente aus einer Menge von $n$ auszuwählen, ohne die Reihenfolge zu beachten. Formel: $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Funktioniert das für gebrochene Potenzen?
Ja, aber es erzeugt eine unendliche Reihe (Newtons verallgemeinerter Binomischer Lehrsatz).