Arithmetische Reihe (Summe)
Beschreibung
Eine arithmetische Reihe ist die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge. Die Formel $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ bietet eine Abkürzung, um lange Listen von Zahlen zu addieren, ohne sie einzeln zusammenzuzählen.
Die Intuition hinter der Formel ist einfach: Man nimmt den Durchschnitt des ersten und letzten Gliedes $\frac{a_1 + a_n}{2}$ und multipliziert ihn mit der Anzahl der Glieder ($n$). Alternativ kann man es sich so vorstellen, dass man die erste und letzte Zahl, die zweite und vorletzte usw. paart. Jedes Paar ergibt denselben Wert ($a_1 + a_n$).
Geschichte & Ursprünge
Die Formel ist berühmt durch Carl Friedrich Gauß. Die Legende von Gauß: Als Gauß ein Schuljunge war (etwa 7 oder 10 Jahre alt), bat sein Lehrer die Klasse, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Während andere Schüler kämpften, schrieb Gauß sofort "5050" auf seine Tafel. Er erkannte, dass $1+100=101$, $2+99=101$ usw. Da es 50 solcher Paare gibt, ist die Summe $50 \times 101 = 5050$. Aryabhata (476–550 n. Chr.): Der indische Mathematiker Aryabhata gab diese Regel ebenfalls in seinem Werk Aryabhatiya an.
Beweis durch "Umkehren und Addieren"
Wir schreiben die Summe vorwärts und rückwärts und addieren dann die beiden Gleichungen.
Sei $S_n = a_1 + (a_1+d) + ... + (a_n-d) + a_n$.
Schreibe es rückwärts: $S_n = a_n + (a_n-d) + ... + (a_1+d) + a_1$.
Addiere die beiden Gleichungen vertikal: $2S_n = (a_1+a_n) + (a_1+a_n) + ... + (a_1+a_n)$.
Beachte, dass jedes vertikale Paar sich zu $(a_1 + a_n)$ summiert.
Da es $n$ Terme gibt, haben wir $n$ Kopien von $(a_1 + a_n)$.
Also $2S_n = n(a_1 + a_n)$.
Teile durch 2: $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$.
Variablen
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
Sₙ | Summe der ersten n Glieder |
n | Anzahl der Glieder |
a₁ | Erstes Glied |
aₙ | n-tes (letztes) Glied |
d | Differenz (optional) |
Beispiel
Grundberechnung
Problem : Summiere die ganzen Zahlen von 1 bis 100.
Lösung :
Rohrstapel
Problem : Ein Rohrstapel hat 20 Rohre in der untersten Reihe, 19 in der nächsten, bis die oberste Reihe 5 Rohre hat. Wie viele Rohre sind es insgesamt?
Lösung : 200 Rohre
- Folge: 20, 19, ..., 5.
- Parameter: $a_1 = 5$ (oben), $a_n = 20$ (unten).
- Anzahl ($n$): $(20 - 5) + 1 = 16$ Reihen.
- Formel: $S_{16} = \frac{16}{2}(5 + 20)$.
- Berechnen: $8(25) = 200$.
Gehaltsersparnisse
Problem : Du sparst im ersten Jahr 1000€ und erhöhst deine Ersparnisse jedes Jahr um 500€. Wie viel hast du nach 10 Jahren gespart?
Lösung : 32.500€
- Identifiziere: $a_1 = 1000$, $d = 500$, $n = 10$.
- Letztes Glied: $a_{10} = 1000 + 9(500) = 5500$.
- Summenformel: $S_{10} = \frac{10}{2}(1000 + 5500)$.
- Berechnen: $5(6500) = 32.500$.
Häufige Fehler
Verwechslung von n mit an
$n$ ist die *Anzahl* (z.B. 50). $a_n$ ist der *Wert* der letzten Zahl.
Verwendung für geometrische Reihen
Diese Formel funktioniert nur bei konstanter Differenz (Addition). Bei Multiplikation (2, 4, 8...) nutze die Geometrische Reihe.
Reale Anwendungen
Stadionsitze
Architekten entwerfen Stadien oft so, dass jede hintere Reihe mehr Sitze hat als die vordere. Die Berechnung der Gesamtkapazität beinhaltet die Summierung einer arithmetischen Reihe.
Informatik: Schleifenanalyse
Bei der Analyse der Zeitkomplexität von Algorithmen (Big O) beinhalten Schleifen oft Summen wie $1 + 2 + ... + n$. Diese Summe ist $n(n+1)/2$, was $O(n^2)$ entspricht.
Häufig gestellte Fragen
Was, wenn ich das letzte Glied nicht kenne?
Du kannst die Summenformel mit der Folgenformel kombinieren: $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$.