Arithmetische Folge
Beschreibung
Eine arithmetische Folge ist eine Liste von Zahlen, bei der die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Diese Konstante wird als **gemeinsame Differenz ($d$)** bezeichnet.
Die Formel $a_n = a_1 + (n-1)d$ ermöglicht es dir, direkt zu jedem Glied in der Folge zu springen. * $a_1$ ist der Startpunkt. * $d$ ist die Schrittweite. * $n-1$ ist die Anzahl der Schritte vom Start.
Geschichte & Ursprünge
Arithmetische Progressionen werden seit Jahrtausenden untersucht. Altes Ägypten (ca. 1550 v. Chr.): Der Papyrus Rhind enthält berühmte Probleme zur Aufteilung von Brot in arithmetischer Progression. Babylonier: Nutzten sie für astronomische Berechnungen.
Herleitung durch Iteration
Wir erkennen das Muster, indem wir die ersten Glieder aufschreiben.
Glied 1: $a_1$
Glied 2: $a_2 = a_1 + d$
Glied 3: $a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$
Muster: Der Koeffizient von $d$ ist immer eins weniger als die Gliednummer ($n$).
Allgemein: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Variablen
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
aₙ | Das n-te Glied |
a₁ | Erstes Glied |
n | Position des Gliedes |
d | Gemeinsame Differenz |
Beispiel
Grundberechnung
Problem : Finde das 50. Glied der Folge 3, 7, 11, 15...
Lösung :
Taxifahrt
Problem : Ein Taxi kostet 5€ Grundgebühr plus 2€ pro Meile. Was kostet eine 10-Meilen-Fahrt?
Lösung : 25€
- Grundgebühr ist wie Start bei Meile 0. Meile 1 ($a_1$) kostet $5+2=7$.
- Formel mit $a_1=7, d=2, n=10$.
- $a_{10} = 7 + 9(2) = 25$.
Abschreibung
Problem : Eine Maschine wird für 20.000€ gekauft und verliert jedes Jahr 1.500€ an Wert. Welchen Wert hat sie nach 8 Jahren?
Lösung : 8.000€
- Startwert (Jahr 0): 20.000.
- Wert im Jahr 1 ($a_1$): $20.000 - 1.500 = 18.500$.
- Differenz $d = -1.500$.
- Wert nach 8 Jahren ($a_8$): $a_8 = 18.500 + 7(-1.500) = 8.000$.
Häufige Fehler
Verwendung von n statt n-1
Ein häufiger Fehler ist $a_n = a_1 + nd$. Denke daran, dass du für das erste Glied null Schritte machst.
Reale Anwendungen
Informatik: Arrays
Speicheradressen für Arrays werden arithmetisch berechnet. Wenn das erste Element an Adresse 1000 liegt und jedes Element 4 Bytes groß ist, liegt das $n$-te Element bei $1000 + (n-1)4$.
Finanzen: Einfache Zinsen
Einfache Zinsen wachsen arithmetisch. Wenn Sie Geld zu einem festen Zinssatz anlegen (ohne Zinseszins), erhöht sich Ihr Guthaben jedes Jahr um denselben Betrag.
Häufig gestellte Fragen
Kann d negativ sein?
Ja! Bei einer fallenden Folge (z.B. 10, 8, 6...) ist $d$ negativ.