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Teorema Binomial

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k

Descrição

O Teorema Binomial fornece uma maneira rápida de expandir expressões da forma $(a+b)^n$, onde $n$ é um inteiro positivo. Em vez de multiplicar $(a+b)$ por si mesmo $n$ vezes manualmente, o teorema usa **Coeficientes Binomiais**, denotados como $\binom{n}{k}$ (lê-se "n escolhe k"), para prever os coeficientes de cada termo.

Os coeficientes correspondem diretamente às linhas do **Triângulo de Pascal**. Por exemplo, para $n=3$, os coeficientes são 1, 3, 3, 1, correspondendo à terceira linha do triângulo.

O teorema funciona começando com a maior potência de $a$ e a potência zero de $b$, e então para cada termo subsequente, diminuindo a potência de $a$ em 1 e aumentando a potência de $b$ em 1, até atingir $b^n$.

História & Origens

Embora tenha o nome de Newton, o padrão de coeficientes era conhecido séculos antes em todo o mundo. Pingala (c. 200 a.C.): Matemático indiano que descreveu o "Meru Prastara", essencialmente o Triângulo de Pascal. Al-Karaji (c. 1000 d.C.): Matemático persa que compreendeu totalmente a expansão de $(a+b)^n$ para potências inteiras. Yang Hui (c. 1200 d.C.): Matemático chinês que apresentou o triângulo, ainda hoje chamado "Triângulo de Yang Hui" na China. Isaac Newton (1665): Newton generalizou o teorema para permitir expoentes não inteiros e negativos (séries infinitas).

Prova por Indução Matemática

Podemos provar que o teorema é verdadeiro para todos os inteiros $n \geq 1$ usando indução.

1

**Caso Base ($n=1$):** $(a+b)^1 = a + b$. A fórmula dá $\binom{1}{0}a^1b^0 + \binom{1}{1}a^0b^1 = 1a + 1b$. Confere.

2

**Passo Indutivo:** Assuma que a fórmula é verdadeira para algum inteiro $n$. Precisamos mostrar que funciona para $n+1$.

3

Considere $(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n$.

4

Substitua a fórmula para $(a+b)^n$.

5

Distribua tanto $a$ quanto $b$ na soma.

6

Use a Identidade de Pascal: $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$.

7

Os coeficientes resultantes correspondem perfeitamente à fórmula para $n+1$.

Variáveis

Símbolo Significado
a, b Termos no binômio
n Expoente (Inteiro positivo)
k Índice do termo (de 0 a n)
nCr Coeficiente Binomial (n escolhe k)

Exemplo

Cálculo Básico

Problema : Expandir (x+2)³

Solução :

x³ + 6x² + 12x + 8

Expandindo com Coeficientes

Problema : Expandir $(2x - 3)^3$.

Solução : $8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$

  1. Identificar $a=2x$, $b=-3$, $n=3$.
  2. Coeficientes para $n=3$ são 1, 3, 3, 1.
  3. Termo 1: $1 \cdot (2x)^3 (-3)^0 = 8x^3$.
  4. Termo 2: $3 \cdot (2x)^2 (-3)^1 = -36x^2$.
  5. Termo 3: $3 \cdot (2x)^1 (-3)^2 = 54x$.
  6. Termo 4: $1 \cdot (2x)^0 (-3)^3 = -27$.
  7. Resultado: $8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$.

Aproximação

Problema : Estimar $(1,01)^5$ sem calculadora.

Solução : ~1,05

  1. Reescrever como $(1 + 0,01)^5$.
  2. Usar os dois primeiros termos: $a^n + n a^{n-1}b$.
  3. $1^5 + 5(1)^4(0,01)$.
  4. $1 + 5(0,01) = 1 + 0,05 = 1,05$.

Erros Comuns

❌ Erro

O Sonho do Calouro (Freshman's Dream)

✅ Correção

Pensar que $(a+b)^n = a^n + b^n$. Isso é falso. Você DEVE incluir os termos do meio.

❌ Erro

Esquecer sinais negativos

✅ Correção

Se a expressão for $(a - b)^n$, os sinais alternarão entre positivo e negativo na expansão.

Aplicações reais

Probabilidade: Lançamento de Moedas

O Teorema Binomial é a base da Distribuição Binomial. Se lançar uma moeda $n$ vezes, o número de maneiras de obter exatamente $k$ caras é dado por $\binom{n}{k}$.

Genética

Na genética mendeliana simples, se dois pais híbridos (Aa) se cruzam, a distribuição de características segue probabilidades binomiais.

Perguntas Frequentes

O que é "n escolhe k"?

É o número de maneiras de escolher $k$ itens de um conjunto de $n$, ignorando a ordem. Fórmula: $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Funciona para potências fracionárias?

Sim, mas produz uma série infinita (Teorema Binomial Generalizado de Newton).