Teorema del Binomio
Descripción
El Teorema del Binomio proporciona una forma rápida de expandir expresiones de la forma $(a+b)^n$, donde $n$ es un entero positivo. En lugar de multiplicar $(a+b)$ por sí mismo $n$ veces manualmente, el teorema utiliza **Coeficientes Binomiales**, denotados como $\binom{n}{k}$ (leído como "n sobre k"), para predecir los coeficientes de cada término.
Los coeficientes corresponden directamente a las filas del **Triángulo de Pascal**. Por ejemplo, para $n=3$, los coeficientes son 1, 3, 3, 1, coincidiendo con la tercera fila del triángulo.
El teorema funciona comenzando con la potencia más alta de $a$ y la potencia cero de $b$, y luego, para cada término subsiguiente, disminuyendo la potencia de $a$ en 1 y aumentando la potencia de $b$ en 1, hasta llegar a $b^n$.
Historia & Orígenes
Aunque lleva el nombre de Newton, el patrón de coeficientes se conocía siglos antes en todo el mundo. Pingala (c. 200 a.C.): Matemático indio que describió el "Meru Prastara" (Escalera del Mt. Meru), que es esencialmente el Triángulo de Pascal. Al-Karaji (c. 1000 d.C.): Matemático persa que entendió completamente la expansión de $(a+b)^n$ para potencias enteras. Yang Hui (c. 1200 d.C.): Matemático chino que presentó el triángulo, que todavía se llama "Triángulo de Yang Hui" en China. Isaac Newton (1665): Newton generalizó el teorema para permitir exponentes no enteros y negativos (series infinitas).
Prueba por Inducción Matemática
Podemos probar que el teorema es verdadero para todos los enteros $n \geq 1$ usando inducción.
**Caso Base ($n=1$):** $(a+b)^1 = a + b$. La fórmula da $\binom{1}{0}a^1b^0 + \binom{1}{1}a^0b^1 = 1a + 1b$. Coincide.
**Paso Inductivo:** Asume que la fórmula es verdadera para algún entero $n$. Necesitamos mostrar que funciona para $n+1$.
Considera $(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n$.
Sustituye la fórmula para $(a+b)^n$: $(a+b) \sum \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$.
Distribuye tanto $a$ como $b$ en la suma.
Usa la Identidad de Pascal: $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$.
Los coeficientes resultantes coinciden perfectamente con la fórmula para $n+1$.
Variables
| Símbolo | Significado |
|---|---|
a, b | Términos en el binomio |
n | Exponente (Entero positivo) |
k | Índice del término (de 0 a n) |
nCr | Coeficiente Binomial (n sobre k) |
Ejemplo
Cálculo Básico
Problema : Expandir (x+2)³
Solución :
Expandiendo con Coeficientes
Problema : Expandir $(2x - 3)^3$.
Solución : $8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$
- Identificar $a=2x$, $b=-3$, $n=3$.
- Los coeficientes para $n=3$ son 1, 3, 3, 1.
- Término 1: $1 \cdot (2x)^3 (-3)^0 = 8x^3$.
- Término 2: $3 \cdot (2x)^2 (-3)^1 = -36x^2$.
- Término 3: $3 \cdot (2x)^1 (-3)^2 = 54x$.
- Término 4: $1 \cdot (2x)^0 (-3)^3 = -27$.
- Resultado: $8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$.
Aproximación
Problema : Estimar $(1,01)^5$ sin calculadora.
Solución : ~1,05
- Reescribir como $(1 + 0,01)^5$.
- Usar los primeros dos términos: $a^n + n a^{n-1}b$.
- $1^5 + 5(1)^4(0,01)$.
- $1 + 5(0,01) = 1 + 0,05 = 1,05$.
Errores Comunes
El Sueño del Estudiante (Freshman's Dream)
Pensar que $(a+b)^n = a^n + b^n$. Esto es falso. Debes incluir los términos medios (términos cruzados).
Olvidar signos negativos
Si la expresión es $(a - b)^n$, los signos alternarán entre positivo y negativo en la expansión.
Aplicaciones del Mundo Real
Probabilidad: Lanzamiento de Monedas
El Teorema del Binomio es la base de la Distribución Binomial. Si lanzas una moneda $n$ veces, el número de formas de obtener exactamente $k$ caras está dado por $\binom{n}{k}$.
Genética
En genética mendeliana simple, si dos padres híbridos (Aa) se cruzan, la distribución de rasgos sigue probabilidades binomiales.
Preguntas Frecuentes
¿Qué es "n sobre k"?
Es el número de formas de elegir $k$ elementos de un conjunto de $n$, ignorando el orden. Fórmula: $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
¿Funciona para potencias fraccionarias?
Sí, pero produce una serie infinita (Teorema del Binomio Generalizado de Newton).