Fórmula Quadrática (Bhaskara)
Descrição
A Fórmula Quadrática (popularmente conhecida no Brasil como Fórmula de Bhaskara) é uma das ferramentas mais poderosas da álgebra. Ela fornece uma "chave mestra" para resolver qualquer equação polinomial de grau 2. Ao contrário da fatoração, que depende de tentativa e erro e só funciona para raízes inteiras simples, esta fórmula funciona 100% das vezes – sejam as soluções números inteiros, frações, números irracionais ou até mesmo imaginários.
Geometricamente, uma equação quadrática representa uma parábola. As "raízes" calculadas por esta fórmula são simplesmente os pontos onde a parábola cruza o eixo x. O termo dentro da raiz quadrada, $b^2 - 4ac$, é chamado de **Discriminante**. Ele indica a natureza das soluções: * Se positivo: Duas soluções reais distintas. * Se zero: Uma solução real (o vértice toca o eixo x). * Se negativo: Duas soluções complexas (imaginárias).
História & Origens
A busca para resolver equações quadráticas remonta a quase 4000 anos. Babilônios (c. 2000 a.C.): Conseguiam resolver problemas específicos usando um método geométrico de "completar o quadrado", mas não tinham uma fórmula algébrica geral. Grécia Antiga (c. 300 a.C.): Euclides descobriu uma abordagem geométrica. Brahmagupta (628 d.C.): O matemático indiano Brahmagupta foi o primeiro a fornecer uma solução explícita geral em seu livro Brahmasphutasiddhanta. Sua "receita" verbal é equivalente à fórmula moderna. Simon Stevin (1585): Foi apenas na Renascença europeia que a notação padronizada fez a fórmula parecer com a versão $x = ...$ que usamos hoje.
Derivação completando o quadrado
A fórmula vem diretamente da resolução da equação geral $ax^2 + bx + c = 0$ usando o método de completar o quadrado.
Comece com a forma padrão: $ax^2 + bx + c = 0$
Divida tudo por $a$: $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
Mova o termo constante para a direita: $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
Complete o quadrado: Adicione $(\frac{b}{2a})^2$ a ambos os lados.
Fatore o lado esquerdo: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$
Encontre o denominador comum à direita: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
Tire a raiz quadrada de ambos os lados: $x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Isole $x$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
a | Coeficiente de x² (Termo quadrático, não pode ser 0) |
b | Coeficiente de x (Termo linear) |
c | Termo constante (Intercepto y) |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Resolver 2x² + 5x - 3 = 0
Solução :
Física: Movimento de Projéteis
Problema : Uma bola é lançada para cima. Sua altura h em metros após t segundos é $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Quando ela atinge o chão (h=0)?
Solução : ~4.1 segundos
- Identifique os coeficientes de $-5t^2 + 20t + 2 = 0$: a=-5, b=20, c=2.
- Substitua na fórmula: $t = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4(-5)(2)}}{2(-5)}$
- Simplifique o discriminante: $400 - (-40) = 440$.
- Resolva: $t = \frac{-20 \pm \sqrt{440}}{-10}$
- Calcule: $\sqrt{440} \approx 20.98$
- Dois casos: $t \approx 4.1$ e $t \approx -0.1$.
- Descarte o tempo negativo. A bola atinge o chão em t ≈ 4.1 segundos.
Raízes Complexas (Números Imaginários)
Problema : Resolver $x^2 + 4x + 5 = 0$
Solução : -2 ± i
- Identifique: a=1, b=4, c=5.
- Discriminante: $b^2 - 4ac = 16 - 20 = -4$.
- Como é negativo, não há raízes reais.
- Raiz de -4 é $2i$.
- Fórmula: $x = \frac{-4 \pm 2i}{2}$
- Simplifique: $x = -2 \pm i$.
Erros Comuns
Sinal errado para -b
Se b é negativo (ex. -5), então -b torna-se positivo (+5).
Divisão parcial
A barra de fração vai abaixo de TODO o numerador.
Aplicações reais
Balística e Esportes
Qualquer objeto lançado sob gravidade segue um arco parabólico. A fórmula quadrática calcula exatamente quanto tempo o objeto permanece no ar.
Economia
O lucro geralmente segue uma curva quadrática. Encontrar o vértice ou as raízes ajuda as empresas a definir preços ideais.
Perguntas Frequentes
Por que Bhaskara?
No Brasil, leva o nome do matemático indiano Bhaskara II, embora a fórmula já fosse conhecida antes dele.