Fórmula Cuadrática
Descripción
La fórmula cuadrática (o fórmula general) es una de las herramientas más poderosas del álgebra, proporcionando una "llave maestra" para resolver cualquier ecuación polinómica de grado 2. A diferencia de la factorización, que depende del ensayo y error y solo funciona para raíces enteras simples, la fórmula cuadrática funciona el 100% de las veces, ya sean soluciones enteras, fraccionarias, irracionales o incluso imaginarias.
Geométricamente, una ecuación cuadrática representa una parábola. Las "raíces" o "soluciones" calculadas por esta fórmula son simplemente los puntos donde la parábola cruza el eje x. El término dentro de la raíz cuadrada, $b^2 - 4ac$, se llama el **Discriminante**. Te indica la naturaleza de las soluciones: * Si es positivo: Dos soluciones reales distintas. * Si es cero: Una solución real (el vértice toca el eje x). * Si es negativo: Dos soluciones complejas (imaginarias).
Historia & Orígenes
La búsqueda para resolver ecuaciones cuadráticas se remonta a casi 4000 años. Babilonios (c. 2000 a.C.): Podían resolver problemas específicos que hoy llamaríamos ecuaciones cuadráticas, usando un método geométrico de "completar el cuadrado", pero carecían de una fórmula algebraica general. Antigua Grecia (c. 300 a.C.): Euclides descubrió un enfoque geométrico para encontrar longitudes que satisfacían problemas cuadráticos. Brahmagupta (628 d.C.): El matemático indio Brahmagupta fue el primero en proporcionar una solución explícita y general en su libro Brahmasphutasiddhanta. Su "receta" verbal es equivalente a la fórmula moderna. Simon Stevin (1585): No fue hasta el Renacimiento europeo que la notación estandarizada hizo que la fórmula se pareciera a la versión $x = ...$ que usamos hoy.
Derivación completando el cuadrado
La fórmula proviene directamente de resolver la ecuación general $ax^2 + bx + c = 0$ usando el método de completar el cuadrado.
Comienza con la forma estándar: $ax^2 + bx + c = 0$
Divide todo por $a$: $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
Mueve el término constante a la derecha: $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
Completa el cuadrado: Suma $(\frac{b}{2a})^2$ a ambos lados.
Factoriza el lado izquierdo: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$
Encuentra un denominador común a la derecha: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
Toma la raíz cuadrada de ambos lados: $x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Despeja $x$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Variables
| Símbolo | Significado |
|---|---|
a | Coeficiente de x² (Término cuadrático, no puede ser 0) |
b | Coeficiente de x (Término lineal) |
c | Término constante (Intersección y) |
Ejemplo
Cálculo Básico
Problema : Resolver 2x² + 5x - 3 = 0
Solución :
Física: Movimiento de Proyectiles
Problema : Se lanza una pelota hacia arriba. Su altura h en metros después de t segundos es $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. ¿Cuándo golpea el suelo (h=0)?
Solución : ~4.1 segundos
- Identifica coeficientes de $-5t^2 + 20t + 2 = 0$: a=-5, b=20, c=2.
- Sustituye en la fórmula: $t = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4(-5)(2)}}{2(-5)}$
- Simplifica discriminante: $400 - (-40) = 440$.
- Resuelve: $t = \frac{-20 \pm \sqrt{440}}{-10}$
- Calcula: $\sqrt{440} \approx 20.98$
- Dos casos: $t \approx 4.1$ y $t \approx -0.1$.
- Rechaza tiempo negativo. La pelota golpea el suelo en t ≈ 4.1 segundos.
Raíces Complejas (Números Imaginarios)
Problema : Resolver $x^2 + 4x + 5 = 0$
Solución : -2 ± i
- Identifica: a=1, b=4, c=5.
- Discriminante: $b^2 - 4ac = 16 - 20 = -4$.
- Como es negativo, no hay raíces reales.
- Raíz de -4 es $2i$.
- Fórmula: $x = \frac{-4 \pm 2i}{2}$
- Simplifica: $x = -2 \pm i$.
Errores Comunes
Signo incorrecto para -b
Si b es negativo (ej. -5), entonces -b se vuelve positivo (+5).
División parcial
La barra de fracción va debajo de TODO el numerador.
Aplicaciones del Mundo Real
Balística y Deportes
Cualquier objeto lanzado bajo gravedad sigue un arco parabólico. La fórmula cuadrática calcula exactamente cuánto tiempo permanece el objeto en el aire.
Economía
El beneficio suele seguir una curva cuadrática. Encontrar el vértice o las raíces ayuda a las empresas a fijar precios óptimos.
Preguntas Frecuentes
¿Por qué se llama "Cuadrática"?
Viene del latín "quadratus" (cuadrado), refiriéndose a la potencia $x^2$.