Volume do Cone
Descrição
O volume de um cone é a quantidade de espaço ocupado dentro da forma sólida 3D. A fórmula $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ diz-nos que o volume de um cone é exatamente **um terço** do volume de um cilindro com o mesmo raio da base ($r$) e altura ($h$).
Para visualizar isto, imagine que tem um cone oco e um cilindro oco com a mesma base e altura. Se encher o cone com água e deitar no cilindro, precisaria de o fazer exatamente três vezes para encher o cilindro completamente.
Esta relação é verdadeira para qualquer forma piramidal: o volume de uma pirâmide é sempre 1/3 do prisma que a contém.
História & Origens
A relação entre o volume de um cone e de um cilindro foi provada pela primeira vez pelo matemático grego Eudoxo de Cnido (c. 390–337 a.C.). Mais tarde, Arquimedes (c. 287–212 a.C.) forneceu uma prova rigorosa usando o seu "método da exaustão", que era uma forma primitiva de integração. Ele fatiou o cone em infinitos discos finos para somar os seus volumes, inventando efetivamente o cálculo quase 2000 anos antes de Newton e Leibniz.
Prova por Cálculo (Método dos Discos)
Calculamos o volume rodando uma linha à volta do eixo y (ou integrando discos transversais ao longo do eixo x).
Coloque o cone com a ponta na origem $(0,0)$ e a base em $x=h$.
O raio em qualquer ponto $x$ varia linearmente. A equação da linha é $y = \frac{r}{h}x$.
Imagine um disco vertical fino na posição $x$ com espessura $dx$.
A área deste disco é $A(x) = \pi (raio)^2 = \pi (\frac{r}{h}x)^2 = \pi \frac{r^2}{h^2}x^2$.
Integre de $0$ a $h$: $V = \int_0^h \pi \frac{r^2}{h^2}x^2 dx$.
Retire as constantes: $V = \frac{\pi r^2}{h^2} \int_0^h x^2 dx$.
Avalie o integral: $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$.
Substitua os limites: $V = \frac{\pi r^2}{h^2} [\frac{h^3}{3} - 0]$.
Simplifique: $V = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
V | Volume (unidades cúbicas) |
r | Raio da base circular |
h | Altura vertical (da base à ponta) |
π | Pi (aprox. 3,14159) |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar o volume de um cone com raio 3 e altura 10.
Solução :
Cone de Gelado
Problema : Um cone de gelado tem um raio de 3 cm e uma altura de 10 cm. Quanto gelado cabe dentro (ignorando a bola no topo)?
Solução : ~94,25 cm³
- Fórmula: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
- Substituir: $V = \frac{1}{3}\pi (3)^2 (10)$.
- Quadrado do raio: $3^2 = 9$.
- Calcular: $V = \frac{1}{3}\pi (9)(10) = 30\pi$.
- Decimal: $30 \times 3,14159 \approx 94,25$ cm³.
Pilha de Areia
Problema : Areia é despejada numa pilha cónica. O raio da base é 5m e a altura é 4m. Qual é o volume da areia?
Solução : 104,72 m³
- Fórmula: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
- Substituir: $r=5, h=4$.
- Calcular: $V = \frac{1}{3}\pi (25)(4) = \frac{100}{3}\pi$.
- Resultado: $V \approx 104,72$ metros cúbicos.
Erros Comuns
Usar a Altura Inclinada
A fórmula requer a altura vertical ($h$), não a altura inclinada ($s$) ao longo do lado. Se só tiver a altura inclinada, use Pitágoras ($r^2 + h^2 = s^2$) para encontrar $h$.
Esquecer o 1/3
Estudantes frequentemente calculam o volume de um cilindro ($\pi r^2 h$). Lembre-se que um cone é "pontiagudo", por isso contém muito menos. Contém exatamente 1/3.
Aplicações reais
Vulcanologia
Geólogos aproximam estratovulcões (como o Monte Fuji) como cones para estimar o seu volume e massa. Isto ajuda a prever a magnitude de potenciais deslizamentos de terra ou detritos de erupção.
Silos Industriais
Nas fábricas, grãos ou pós são armazenados em silos com fundos cónicos para garantir o fluxo. Engenheiros precisam de cálculos de volume precisos para determinar a capacidade e a carga estrutural nos suportes.
Perguntas Frequentes
Por que é 1/3?
Vem da integração do cálculo. Assim como a área de um triângulo ($1/2 bh$) é metade de um retângulo, o volume de um cone ($1/3 \pi r^2 h$) é um terço de um cilindro. Esta "regra de 1/3" aplica-se a todas as pirâmides e cones.
Isto aplica-se a cones oblíquos?
Sim! O Princípio de Cavalieri afirma que, desde que a altura e a área da base sejam as mesmas, o volume é o mesmo, mesmo que a ponta seja empurrada para o lado.