Teorema de Pitágoras
Descrição
O Teorema de Pitágoras é sem dúvida a afirmação mais famosa da matemática, servindo como uma ligação fundamental entre a álgebra e a geometria. No seu núcleo, descreve uma relação específica entre os três lados de um triângulo retângulo (triângulo com ângulo de 90°). Afirma que a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados dos outros dois lados. Matematicamente, se 'a' e 'b' são os comprimentos dos catetos e 'c' é o comprimento da hipotenusa, esta relação é expressa como a² + b² = c². Este teorema não é apenas uma curiosidade teórica; é a pedra angular dos cálculos envolvidos em tudo, desde a construção de uma escada até ao cálculo da distância entre estrelas. Permite-nos converter coordenadas 2D em distâncias diagonais, formando a base para a Fórmula da Distância e, por extensão, de toda a trigonometria e geometria de dimensões superiores.
História & Origens
A história do Teorema de Pitágoras estende-se por milénios e civilizações. Embora tenha o nome do matemático e filósofo grego Pitágoras de Samos (c. 570–495 a.C.), a relação era compreendida e utilizada muito antes do seu nascimento. Antiga Babilónia (c. 1900–1600 a.C.): Placas de argila desta era, como a Plimpton 322, listam "triplos pitagóricos" (soluções inteiras para a² + b² = c²) com uma precisão notável. Isto sugere que os agrimensores babilónicos provavelmente usavam cordas com nós em intervalos (como 3-4-5) para criar ângulos retos perfeitos para a divisão de terras e construção. Antiga Índia (c. 800-500 a.C.): O Baudhayana Sulba Sutra contém uma declaração específica do teorema para a construção de altares, notando que uma corda esticada ao longo da diagonal de um retângulo produz uma área igual à soma dos quadrados dos lados vertical e horizontal. Pitágoras e os Gregos: A Pitágoras é tradicionalmente atribuída a primeira prova dedutiva do teorema, elevando-o de uma regra prática a uma verdade matemática absoluta. A lenda diz que ele ficou tão exultante com a descoberta que sacrificou um boi aos deuses, embora isso contradiga as crenças vegetarianas da escola pitagórica. Euclides imortalizou mais tarde o teorema com uma prova geométrica nos seus Elementos (Proposição 47), que se tornou o livro de texto padrão de geometria durante mais de 2000 anos.
Prova Visual ("Prova por Reorganização")
Imagine um quadrado grande com lado (a + b). Podemos dividir este quadrado grande de duas maneiras diferentes.
Método 1: Coloque quatro triângulos retângulos idênticos (catetos a, b; hipotenusa c) nos cantos do quadrado grande. O espaço vazio restante no centro é um quadrado inclinado com lado c. A sua área é c².
Método 2: Reorganize esses mesmos quatro triângulos em dois retângulos (cada um a por b) dentro do quadrado grande. O espaço vazio restante forma agora dois quadrados mais pequenos: um com lado "a" (área a²) e um com lado "b" (área b²).
Conclusão: Como a área total do quadrado grande não muda, e a área dos quatro triângulos é constante, o espaço vazio restante em ambos os métodos deve ser igual. Portanto, c² = a² + b².
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
a, b | Catetos (Adjacentes ao ângulo de 90°) |
c | Hipotenusa (Lado mais longo, oposto ao ângulo de 90°) |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : O caso mais simples: O Triângulo 3-4-5
Solução :
Cálculo Padrão da Hipotenusa
Problema : Uma escada está encostada a uma parede. A base da escada está a 6 metros da parede, e a escada atinge 8 metros de altura na parede. Qual é o comprimento da escada?
Solução : 10 metros
- Identifique os catetos: a = 6, b = 8.
- Defina a equação: c² = 6² + 8²
- Calcule os quadrados: c² = 36 + 64
- Some-os: c² = 100
- Tire a raiz quadrada: c = √100 = 10 metros.
Encontrar um Cateto em Falta (Subtração)
Problema : Um triângulo retângulo tem uma hipotenusa de 13 cm e um cateto de 5 cm. Qual é o comprimento do outro cateto?
Solução : 12 cm
- Identifique os conhecidos: c = 13, a = 5. Precisamos encontrar b.
- Defina a equação: 5² + b² = 13²
- Calcule os quadrados: 25 + b² = 169
- Isole b² subtraindo 25 de ambos os lados: b² = 169 - 25
- Calcule: b² = 144
- Tire a raiz quadrada: b = √144 = 12 cm.
Mundo Real: Diagonal de um Ecrã
Problema : Você acabou de comprar uma TV de "50 polegadas" (medida na diagonal). O ecrã tem 44 polegadas de largura. Qual é a altura do ecrã?
Solução : ~23.7 polegadas
- Identifique conhecidos: Hipotenusa c = 50, Largura a = 44. Precisa Altura b.
- Equação: 44² + b² = 50²
- Quadrados: 1936 + b² = 2500
- Subtração: b² = 2500 - 1936
- Resultado: b² = 564
- Raiz quadrada: b = √564 ≈ 23.75 polegadas.
Erros Comuns
Simplesmente somar os números (a + b = c)
Um erro comum é pensar que se os lados são 3 e 4, a hipotenusa é 7. Isto está errado. Você deve primeiro elevar os números ao quadrado (9 + 16 = 25) antes de somá-los.
Esquecer de tirar a raiz quadrada
Os alunos param frequentemente em c² = 25 e dizem que a resposta é 25. Você deve lembrar-se do passo final: √25 = 5.
Usar em triângulos não retângulos
O teorema aplica-se apenas se houver um ângulo de 90°. Para outros triângulos, você deve usar a Lei dos Cossenos (c² = a² + b² - 2ab cos(C)).
Aplicações reais
Construção e Carpintaria
O "Método 3-4-5" é um truque padrão usado por carpinteiros para traçar cantos quadrados para fundações ou decks sem ferramentas sofisticadas. Ao marcar 3 metros num lado e 4 metros no outro, se a distância diagonal entre eles corresponder exatamente a 5 metros, o canto é um ângulo perfeito de 90°.
Aviação e Navegação
Os pilotos usam o teorema para calcular a distância em linha reta até um destino com base na altitude e na distância no solo. Se um avião está a 10 km horizontalmente e 2 km de altura, a distância direta de viagem (alcance inclinado) é calculada através do teorema.
Tamanho de Monitores e TV
Os tamanhos de ecrã são sempre anunciados pelo seu comprimento diagonal (a hipotenusa). Os fabricantes e consumidores usam o teorema para determinar a largura e altura reais de um ecrã com base na sua proporção.
Perguntas Frequentes
Quem descobriu realmente o Teorema de Pitágoras?
Embora Pitágoras receba o crédito pela primeira prova formal, o conceito foi usado de forma prática pelos babilónios (Mesopotâmia) e índios mais de 1000 anos antes dele para agrimensura e construção de estruturas.
Quais são os Triplos Pitagóricos mais comuns?
Os conjuntos de inteiros mais frequentes que você encontrará em exames são (3-4-5), (5-12-13), (8-15-17) e (7-24-25). Memorizar estes poupa tempo de cálculo.
Como é usado em 3D?
O teorema estende-se facilmente ao espaço 3D: Distância Total² = x² + y² + z². Isto é essencial para a física de videojogos e cálculos de GPS.