Soma de Série Aritmética
Descrição
Uma Série Aritmética é a soma dos termos de uma sequência aritmética. A fórmula $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ oferece um atalho para somar longas listas de números sem adicioná-los um por um.
A intuição por trás da fórmula é simples: você pega a média do primeiro e do último termo $\frac{a_1 + a_n}{2}$ e multiplica pelo número de termos ($n$). Alternativamente, pode pensar nisso como emparelhar o primeiro e o último número, o segundo e o penúltimo, e assim por diante. Cada par soma o mesmo valor ($a_1 + a_n$).
História & Origens
A fórmula é famosamente associada a Carl Friedrich Gauss. A Lenda de Gauss: Conta-se que quando Gauss era um estudante (cerca de 7 ou 10 anos), seu professor pediu à turma para somar os números de 1 a 100. Enquanto outros alunos lutavam com a adição manual, Gauss escreveu instantaneamente "5050" na sua lousa. Ele percebeu que $1+100=101$, $2+99=101$, etc. Como existem 50 pares, a soma é $50 \times 101 = 5050$. Aryabhata (476–550 d.C.): O matemático indiano Aryabhata também deu esta regra em seu tratado Aryabhatiya.
Prova por "Inverter e Somar"
Escrevemos a soma para frente e para trás, depois somamos as duas equações.
Seja $S_n = a_1 + (a_1+d) + ... + (a_n-d) + a_n$.
Escreva ao contrário: $S_n = a_n + (a_n-d) + ... + (a_1+d) + a_1$.
Some as duas equações verticalmente: $2S_n = (a_1+a_n) + (a_1+a_n) + ... + (a_1+a_n)$.
Note que cada par vertical soma $(a_1 + a_n)$.
Como existem $n$ termos, temos $n$ cópias de $(a_1 + a_n)$.
Então, $2S_n = n(a_1 + a_n)$.
Divida por 2: $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$.
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
Sₙ | Soma dos primeiros n termos |
n | Número de termos |
a₁ | Primeiro termo |
aₙ | Enésimo (Último) termo |
d | Diferença comum (opcional) |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Somar os inteiros de 1 a 100.
Solução :
Pilha de Tubos
Problema : Uma pilha de tubos tem 20 tubos na fileira inferior, 19 na próxima, até que a fileira superior tenha 5 tubos. Quantos tubos existem no total?
Solução : 200 tubos
- Sequência: 20, 19, ..., 5.
- Parâmetros: $a_1 = 5$ (topo), $a_n = 20$ (fundo).
- Contagem ($n$): $(20 - 5) + 1 = 16$ fileiras.
- Fórmula: $S_{16} = \frac{16}{2}(5 + 20)$.
- Calcular: $8(25) = 200$.
Poupança Salarial
Problema : Você economiza $1000 no primeiro ano e aumenta sua economia em $500 a cada ano. Quanto economizou após 10 anos?
Solução : $32.500
- Identificar: $a_1 = 1000$, $d = 500$, $n = 10$.
- Último termo: $a_{10} = 1000 + 9(500) = 5500$.
- Fórmula de soma: $S_{10} = \frac{10}{2}(1000 + 5500)$.
- Calcular: $5(6500) = 32.500$.
Erros Comuns
Confundir n com an
$n$ é a *contagem* (ex: 50). $a_n$ é o *valor* do último número.
Usar para Séries Geométricas
Esta fórmula só funciona se a diferença for constante (adição). Se os termos são multiplicados, use a Série Geométrica.
Aplicações reais
Assentos de Estádio
Arquitetos projetam estádios onde cada fileira de trás tem mais assentos que a da frente. Calcular a capacidade total envolve somar uma série aritmética.
Ciência da Computação: Análise de Loop
Ao analisar a complexidade de tempo de algoritmos (Big O), loops frequentemente envolvem somas como $1 + 2 + ... + n$. Esta soma é $n(n+1)/2$, que é $O(n^2)$.
Perguntas Frequentes
E se eu não souber o último termo?
Você pode combinar a fórmula da soma com a fórmula da sequência: $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$.