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Sequência Geométrica

an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Descrição

Uma sequência geométrica (ou progressão) é uma lista de números onde cada termo é encontrado multiplicando o termo anterior por um valor constante chamado **razão comum ($r$)**.

A fórmula $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ permite calcular qualquer termo na sequência sem encontrar todos os anteriores. * $a_1$ é o primeiro termo. * $r$ é o multiplicador (razão). * $n-1$ é o número de multiplicações aplicadas ao início.

História & Origens

As progressões geométricas aparecem em algumas das histórias matemáticas mais antigas. O Problema do Tabuleiro de Xadrez: Uma lenda famosa da Índia envolve um sábio que pediu 1 grão de trigo na primeira casa, 2 na segunda, 4 na terceira, etc. Esta é uma sequência geométrica com $r=2$. Euclides (c. 300 a.C.): Discutiu progressões geométricas em Elementos, Livro IX.

Derivação por Iteração

Podemos encontrar o padrão escrevendo os termos passo a passo.

1

Termo 1: $a_1$

2

Termo 2: $a_2 = a_1 \cdot r$

3

Termo 3: $a_3 = a_1 \cdot r^2$

4

Termo 4: $a_4 = a_1 \cdot r^3$

5

Padrão: O expoente de $r$ é sempre um a menos que o número do termo ($n$).

6

Fórmula geral: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

Variáveis

Símbolo Significado
aₙ O enésimo termo
a₁ Primeiro termo
n Posição do termo
r Razão comum (Multiplicador)

Exemplo

Cálculo Básico

Problema : Encontrar o 5º termo de 2, 6, 18, 54...

Solução :

a_5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 81 = 162

Crescimento Bacteriano

Problema : Uma cultura de bactérias começa com 100 células e dobra a cada hora. Quantas bactérias existem no início da 6ª hora?

Solução : 3.200

  1. Sequência: 100, 200, 400...
  2. Primeiro termo $a_1 = 100$. Razão $r = 2$.
  3. Queremos o 6º termo ($n=6$).
  4. Fórmula: $a_6 = 100 \cdot 2^{6-1} = 100 \cdot 32 = 3.200$.

Depreciação de Carro

Problema : Um carro custa $20.000. Ele mantém 85% do seu valor a cada ano ($r=0,85$). Valor no ano 5?

Solução : $10.440

  1. Início ($a_1$): $20.000. Razão $r = 0,85$.
  2. Fórmula: $a_5 = 20.000 \cdot (0,85)^4$.
  3. Calcular: $20.000 \cdot 0,522 = 10.440$.

Erros Comuns

❌ Erro

Usar n em vez de n-1

✅ Correção

Um erro comum é calcular $a_1 \cdot r^n$. Isso efetivamente pula o primeiro termo.

Aplicações reais

Finanças: Juros Compostos

Os juros compostos são uma sequência geométrica. Se investir dinheiro a 5% de juros, o seu dinheiro é multiplicado por 1,05 a cada ano.

Música: Oitavas

As notas musicais seguem uma progressão geométrica. A frequência de uma nota "Lá" é 440 Hz. A próxima (uma oitava acima) é 880 Hz ($r=2$).

Perguntas Frequentes

O r pode ser negativo?

Sim. Isso cria uma sequência alternada onde os sinais mudam (ex: 2, -4, 8...).