Sequência Aritmética
Descrição
Uma sequência aritmética é uma lista de números onde a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa constante é chamada de **razão ($d$)**.
A fórmula $a_n = a_1 + (n-1)d$ permite pular diretamente para qualquer termo na sequência. * $a_1$ é o ponto de partida. * $d$ é o tamanho do passo (razão). * $n-1$ é o número de passos a partir do início.
História & Origens
As progressões aritméticas são estudadas há milênios. Antigo Egito (c. 1550 a.C.): O Papiro de Rhind contém problemas de divisão de pão em progressão aritmética. Babilônios: Usavam para astronomia.
Derivação por Iteração
Podemos ver o padrão escrevendo os primeiros termos.
Termo 1: $a_1$
Termo 2: $a_2 = a_1 + d$
Termo 3: $a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$
Padrão: O coeficiente de $d$ é sempre um a menos que o número do termo ($n$).
Generalizando: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
aₙ | O enésimo termo |
a₁ | Primeiro termo |
n | Posição do termo |
d | Razão (Diferença comum) |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar o 50º termo de 3, 7, 11, 15...
Solução :
Tarifa de Táxi
Problema : Um táxi cobra $5 de base mais $2 por milha. Custo para 10 milhas?
Solução : $25
- Milha 1 ($a_1$) custa $5+2=7$.
- Razão $d=2$.
- Para 10 milhas ($n=10$): $a_{10} = 7 + 9(2) = 25$.
Depreciação
Problema : Uma máquina é comprada por 20.000 € e deprecia 1.500 € por ano. Qual o valor após 8 anos?
Solução : 8.000 €
- Valor inicial (Ano 0): 20.000.
- Valor Ano 1 ($a_1$): $20.000 - 1.500 = 18.500$.
- Razão $d = -1.500$.
- Valor após 8 anos ($a_8$): $a_8 = 18.500 + 7(-1.500) = 8.000$.
Erros Comuns
Usar n em vez de n-1
O erro comum é $a_n = a_1 + nd$. Lembre-se que você dá zero passos para o primeiro termo.
Aplicações reais
Computação: Arrays
Endereços de memória para arrays são calculados aritmeticamente. Se o primeiro elemento está no endereço 1000 e cada elemento tem 4 bytes, o enésimo está em $1000 + (n-1)4$.
Finanças: Juros Simples
Os juros simples crescem aritmeticamente. Se investir dinheiro a uma taxa fixa (sem juros compostos), o seu saldo aumenta na mesma quantia todos os anos.
Perguntas Frequentes
A razão pode ser negativa?
Sim! Se a sequência for decrescente, $d$ é negativo.