Regra da Potência (Integral)
Descrição
A Regra da Potência para Integração é a operação inversa da Regra da Potência para Diferenciação. Permite encontrar a antiderivada de uma função como $x^2$, $x^5$ ou $\sqrt{x}$ com um processo simples de duas etapas: 1. Adicione um ao expoente. 2. Divida pelo novo expoente.
Você também deve adicionar uma **Constante de Integração ($+C$)** porque a derivada de qualquer constante é zero, o que significa que não podemos saber o valor constante original apenas pela derivada.
**Restrição Importante:** Esta regra funciona para todos os números reais $n$ *exceto* $n = -1$. Se $n = -1$ (ou seja, $\frac{1}{x}$), a regra causaria divisão por zero. A integral de $x^{-1}$ é um caso especial: $\ln|x| + C$.
História & Origens
A descoberta das fórmulas de integração precede a diferenciação. Bonaventura Cavalieri (1635): Matemático italiano que usou seu "método dos indivisíveis" para calcular a área sob curvas $y=x^n$. Ele derivou com sucesso a regra para potências inteiras até $n=9$. John Wallis (1655): Estendeu o trabalho de Cavalieri, propondo que a regra se aplicava também a expoentes fracionários e negativos.
Prova por Diferenciação
O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que integração e diferenciação são operações inversas. Podemos provar a fórmula da integral derivando o resultado.
Afirmamos que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Para provar, vamos derivar o lado direito: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \right)$.
A derivada da constante $C$ é 0.
Aplique a Regra da Potência para Derivadas em $x^{n+1}$: Traga $(n+1)$ para baixo e subtraia 1 do expoente.
$\frac{d}{dx} (x^{n+1}) = (n+1)x^{(n+1)-1} = (n+1)x^n$.
Multiplique pelo fator constante: $\frac{1}{n+1} \cdot (n+1)x^n$.
Os termos $(n+1)$ cancelam-se, deixando apenas $x^n$.
Como a derivada do resultado é igual ao integrando ($x^n$), a fórmula está correta.
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
n | Potência/expoente (Qualquer real exceto -1) |
x | Variável |
C | Constante de Integração |
∫ | Símbolo de integral |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Integrar x³
Solução :
Expoentes Fracionários (Raízes)
Problema : Encontrar $\int \sqrt{x} \, dx$.
Solução : $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$
- Reescrever radical como expoente: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
- Identificar $n = 1/2$.
- Adicionar 1 ao expoente: $1/2 + 1 = 3/2$.
- Dividir pelo novo expoente: $\frac{x^{3/2}}{3/2}$.
- Simplificar: Dividir por $3/2$ é multiplicar por $2/3$.
- Resultado: $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$.
Integral Definida (Área)
Problema : Calcular $\int_0^2 x^2 \, dx$.
Solução : 8/3
- Encontrar antiderivada: $\frac{x^3}{3}$.
- Aplicar Teorema Fundamental: $F(2) - F(0)$.
- Avaliar em 2: $\frac{2^3}{3} = \frac{8}{3}$.
- Avaliar em 0: $\frac{0^3}{3} = 0$.
- Subtrair: $\frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.
Erros Comuns
Esquecer +C
Em integrais indefinidas, você deve adicionar $+C$. Se não o fizer, representa apenas uma curva específica em vez de toda a família de soluções.
Usá-la para n = -1
Você não pode calcular $\int x^{-1} dx$ com esta regra porque dividiria por zero. A integral correta para $\frac{1}{x}$ é $\ln|x| + C$.
Aplicações reais
Física: Da Velocidade para a Posição
Na física, a velocidade é a derivada da posição. Para ir para trás — encontrar a posição de um objeto dada a sua função de velocidade — você integra. Se $v(t) = 3t^2$, então a posição $x(t) = \int 3t^2 dt = t^3 + C$. A constante $C$ representa a posição inicial.
Perguntas Frequentes
O que é C?
C é a "Constante de Integração". Contabiliza qualquer valor constante que possa ter estado na função original, pois derivar uma constante resulta em zero.