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Regra da Potência (Derivada)

ddx(xn)=nxn−1\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}

Descrição

A Regra da Potência é uma das primeiras e mais importantes técnicas que você aprende em cálculo. Ela fornece uma maneira rápida e fácil de encontrar a derivada de uma função onde a variável é elevada a uma potência constante, como $x^2$, $x^{10}$ ou até $x^{-3}$.

Antes de conhecer esta regra, encontrar uma derivada requer o uso da definição formal de limite, que envolve álgebra complexa e expansão binomial. A Regra da Potência contorna todo esse trabalho com um processo simples de duas etapas: 1. Traga o expoente para a frente como um multiplicador. 2. Subtraia um do expoente original.

Esta regra funciona para **qualquer** número real expoente $n$, incluindo: * **Inteiros Positivos:** $x^5 \to 5x^4$ * **Inteiros Negativos:** $x^{-2} \to -2x^{-3}$ * **Frações (Raízes):** $\sqrt{x} = x^{1/2} \to \frac{1}{2}x^{-1/2}$ * **Decimais/Irracionais:** $x^{\pi} \to \pi x^{\pi-1}$

História & Origens

O desenvolvimento da Regra da Potência está ligado ao nascimento do cálculo no final do século XVII. Isaac Newton (c. 1665): Newton descobriu padrões nas derivadas de polinômios enquanto desenvolvia seu "método dos fluxos". Ele percebeu que a taxa de variação de $x^n$ seguia um padrão previsível baseado na expansão binomial, permitindo-lhe calcular velocidades e acelerações sem somatórios geométricos infinitos. Gottfried Wilhelm Leibniz (c. 1670s): Leibniz, trabalhando independentemente, introduziu a notação $d/dx$ que usamos hoje. Ele provou a regra para expoentes inteiros usando diferenças finitas e estendeu-a para números racionais. A prova rigorosa para qualquer expoente real (incluindo irracionais) veio muito mais tarde, exigindo o uso de diferenciação logarítmica e as definições de funções exponenciais.

Prova para Inteiros Positivos (Usando Limites)

Podemos provar a regra para qualquer inteiro positivo $n$ usando a definição da derivada e o Teorema Binomial.

1

Comece com a definição da derivada: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

2

Substitua $f(x) = x^n$: $\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$

3

Expanda $(x+h)^n$ usando o Teorema Binomial: $(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + ... + h^n$

4

Substitua de volta no limite: $\frac{(x^n + nx^{n-1}h + O(h^2)) - x^n}{h}$

5

Simplifique: Os termos $x^n$ cancelam-se: $\frac{nx^{n-1}h + O(h^2)}{h}$

6

Divida por $h$: $nx^{n-1} + O(h)$ (onde $O(h)$ são termos contendo $h$)

7

Tome o limite quando $h \to 0$: Todos os termos com $h$ desaparecem, deixando apenas $nx^{n-1}$.

Variáveis

Símbolo Significado
n Potência/expoente (Qualquer número real)
x Variável (Base)
d/dx Operador derivada (Taxa de variação em relação a x)

Exemplo

Cálculo Básico

Problema : Encontrar d/dx(x⁵)

Solução :

5x⁴

Expoentes Negativos

Problema : Encontrar a derivada de $f(x) = \frac{1}{x^3}$

Solução : -3/x⁴

  1. Reescreva como potência: $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$
  2. Identifique n: $n = -3$
  3. Aplique a Regra da Potência: Traga -3 para baixo, subtraia 1 do expoente.
  4. Calcule: $f'(x) = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$
  5. Reescreva sem expoentes negativos: $-\frac{3}{x^4}$

Expoentes Fracionários (Raízes)

Problema : Encontrar a derivada de $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$

Solução : 2/(3∛x)

  1. Converta radical para expoente: $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$
  2. Identifique n: $n = 2/3$
  3. Aplique a Regra: $f'(x) = \frac{2}{3}x^{2/3 - 1}$
  4. Subtraia o expoente: $2/3 - 1 = -1/3$
  5. Resultado: $\frac{2}{3}x^{-1/3}$
  6. Converta de volta para radical: $\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

Geometria: Inclinação da Reta Tangente

Problema : Encontrar a inclinação da reta tangente à curva $y = x^4$ no ponto onde $x = 2$.

Solução : m = 32

  1. Encontre a derivada usando a Regra da Potência: $dy/dx = \frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$.
  2. A derivada representa a inclinação em qualquer x.
  3. Substitua $x = 2$ na derivada: $m = 4(2)^3$.
  4. Calcule: $m = 4(8) = 32$.
  5. A inclinação da reta tangente em x=2 é 32.

Erros Comuns

❌ Erro

Adicionar em vez de subtrair

✅ Correção

Lembre-se que o expoente fica MENOR. $x^5$ torna-se $x^4$, não $x^6$. (A integração adiciona à potência, a diferenciação subtrai).

❌ Erro

Lidar com constantes

✅ Correção

A derivada de uma constante (como 5 ou $\pi$) é 0. Não trate $5$ como $5x^0$ e tente torná-lo $0x^{-1}$. Apenas remova-o.

❌ Erro

Inteiros negativos

✅ Correção

$-2 - 1 = -3$, não $-1$. Então a derivada de $x^{-2}$ é $-2x^{-3}$, não $-2x^{-1}$.

Aplicações reais

Física: Movimento

A Regra da Potência é essencial para converter funções de Posição em Velocidade e Aceleração. Se a posição é $x(t) = t^3$, então a velocidade é $v(t) = 3t^2$ e a aceleração é $a(t) = 6t$.

Economia: Análise Marginal

Economistas modelam custos e receitas como funções polinomiais. A Regra da Potência ajuda a calcular o "Custo Marginal" (o custo de produzir mais uma unidade), que é simplesmente a derivada da função de custo.

Perguntas Frequentes

Isso funciona para equações como $2^x$?

Não! A Regra da Potência funciona apenas quando a base é a variável ($x^n$). Se a variável estiver no expoente ($2^x$), você deve usar as regras para Funções Exponenciais.

E se n = 0?

Se $n=0$, então $f(x) = x^0 = 1$. A derivada da constante 1 é 0. A fórmula dá $0x^{-1} = 0$, então ainda funciona!