Regra da Cadeia
Descrição
A Regra da Cadeia é a ferramenta fundamental para diferenciar funções compostas — funções dentro de outras funções, como $\sin(x^2)$ ou $(2x+1)^5$. Ela afirma que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Um mnemônico comum é **"derivada de fora vezes derivada de dentro"**.
**Analogia Intuitiva (Engrenagens):** Pense em três engrenagens conectadas. Se a Engrenagem A gira a Engrenagem B duas vezes mais rápido ($dy/du=2$), e a Engrenagem B gira a Engrenagem C três vezes mais rápido ($du/dx=3$), então a Engrenagem A gira a Engrenagem C $2 \times 3 = 6$ vezes mais rápido. Você simplesmente multiplica as taxas.
Na notação de Leibniz, se $y = f(u)$ e $u = g(x)$, então: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
Esta notação é incrivelmente intuitiva porque parece que as frações "cancelam" os termos $du$, embora as derivadas não sejam tecnicamente frações. A Regra da Cadeia permite-nos descascar as camadas de funções complexas como uma cebola, resolvendo uma camada de cada vez.
História & Origens
A Regra da Cadeia é uma das regras mais antigas do cálculo, intimamente ligada à sua invenção. Gottfried Wilhelm Leibniz (1676): Leibniz descobriu a regra especificamente para lidar com funções algébricas da forma $\sqrt{a + bz + cz^2}$. Guillaume de l'Hôpital (1696): Incluiu a regra no seu livro Analyse des Infiniment Petits, o primeiro livro sobre cálculo diferencial.
Prova usando Limites
Usamos a definição de limite da derivada para a função composta $f(g(x))$.
Seja $y = f(g(x))$. Queremos encontrar $\lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}$.
Multiplique e divida por $[g(x+h) - g(x)]$: $\lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)} \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$.
O primeiro termo é a derivada da função externa $f'(g(x))$.
O segundo termo é a derivada da função interna $g'(x)$.
Resultado: $f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
f(u) | Função externa |
g(x) | Função interna (u) |
f' | Derivada da função externa |
g' | Derivada da função interna |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar a derivada de y = (3x² + 1)⁵
Solução :
Potência de um Polinômio
Problema : Derivar $h(x) = (3x^2 + 1)^5$.
Solução : $30x(3x^2 + 1)^4$
- Identificar Interna e Externa: Interna $u = 3x^2 + 1$. Externa $y = u^5$.
- Derivar Externa: $\frac{dy}{du} = 5u^4 = 5(3x^2 + 1)^4$.
- Derivar Interna: $\frac{du}{dx} = 6x$.
- Multiplicar: $5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x$.
- Simplificar: $30x(3x^2 + 1)^4$.
Função Trigonométrica
Problema : Derivar $y = \cos(e^x)$.
Solução : $-e^x \sin(e^x)$
- Identificar funções: Externa é $\cos(u)$, Interna é $u = e^x$.
- Derivada da Externa: $\frac{d}{du}(\cos(u)) = -\sin(u)$.
- Derivada da Interna: $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$.
- Aplicar Regra: $-\sin(e^x) \cdot e^x$.
- Resultado: $-e^x \sin(e^x)$.
Erros Comuns
Esquecer a derivada interna
O erro mais comum é derivar a parte externa mas esquecer de multiplicar por $g'(x)$. Para $(2x)^3$, obter $3(2x)^2$ está errado. Deve ser $3(2x)^2 \cdot 2 = 6(2x)^2$.
Aplicações reais
Inteligência Artificial: Backpropagation
Esta é possivelmente a aplicação mais importante no mundo moderno. Redes neurais "aprendem" ajustando pesos para minimizar erros. O algoritmo **Backpropagation** calcula o gradiente da função de perda em relação a cada peso na rede. Isso é essencialmente a aplicação repetida da Regra da Cadeia de trás para frente.
Física: Efeito Doppler
Ao calcular taxas de variação onde as dependências são aninhadas (por exemplo, como a frequência percebida do som muda à medida que um carro se move, onde a posição depende do tempo), a Regra da Cadeia permite aos físicos vincular essas taxas.
Perguntas Frequentes
Posso usar para 3 funções?
Sim! Para $f(g(h(x)))$, descasque como uma cebola: $f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$. Apenas continue multiplicando pela derivada da próxima camada interna.