Identidade Pitagórica
Descrição
A Identidade Pitagórica é a equação mais importante na trigonometria. Ela faz a ponte entre a geometria (o Teorema de Pitágoras) e a trigonometria (seno e cosseno).
Afirma que para *qualquer* ângulo $\theta$, o quadrado do seno desse ângulo mais o quadrado do cosseno desse ângulo é sempre exatamente igual a 1.
Esta identidade é derivada diretamente do Círculo Unitário, onde qualquer ponto $(x, y)$ no círculo satisfaz a equação $x^2 + y^2 = 1$. Como $x = \cos(\theta)$ e $y = \sin(\theta)$, segue-se diretamente que $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$.
História & Origens
Embora o teorema para triângulos tenha o nome de Pitágoras (c. 570 a.C.), a forma trigonométrica foi desenvolvida muito mais tarde. Cláudio Ptolomeu (c. 100 d.C.): No seu Almagesto, usou tabelas de cordas que dependiam implicitamente desta relação. Matemáticos Indianos (c. 500 d.C.): Aryabhata usou explicitamente a relação $\sin^2 + \cos^2 = 1$ para cálculos astronômicos.
Prova usando o Círculo Unitário
Derivamos a identidade diretamente da definição do círculo unitário.
Considere um Círculo Unitário centrado na origem $(0,0)$ com raio $r=1$.
A equação deste círculo é $x^2 + y^2 = 1$.
Desenhe um ângulo $\theta$. O lado terminal interseta o círculo no ponto $P(x,y)$.
Por definição de seno e cosseno: $x = \cos(\theta)$ e $y = \sin(\theta)$.
Substitua estes na equação do círculo: $(\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2 = 1$.
Isto simplifica para: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
θ | Ângulo (qualquer número real) |
sin²θ | Quadrado do seno do ângulo |
cos²θ | Quadrado do cosseno do ângulo |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Verificar para θ = 30°
Solução :
Encontrar Valor em Falta
Problema : Se $\sin(\theta) = \frac{3}{5}$ e $\theta$ está no primeiro quadrante, encontrar $\cos(\theta)$.
Solução : 4/5
- Identidade: $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$.
- Substituir: $(\frac{3}{5})^2 + \cos^2(\theta) = 1$.
- Quadrado: $\frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1$.
- Subtrair: $\cos^2(\theta) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
- Raiz Quadrada: $\cos(\theta) = \pm \frac{4}{5}$.
- Como está no Quadrante I, o cosseno é positivo: $\frac{4}{5}$.
Simplificar Expressões
Problema : Simplificar $5 - 5\sin^2(x)$.
Solução : $5\cos^2(x)$
- Fatorar 5: $5(1 - \sin^2(x))$.
- Reorganizar identidade: $1 - \sin^2 = \cos^2$.
- Substituir: $5(\cos^2(x))$.
Erros Comuns
Pensar que sin(x) + cos(x) = 1
Isto é incorreto. A identidade aplica-se aos **quadrados**.
Aplicações reais
Engenharia Elétrica
Em circuitos CA, a relação entre Potência Ativa (P), Reativa (Q) e Aparente (S) forma um "Triângulo de Potência" governado por esta identidade ($S^2 = P^2 + Q^2$).
Perguntas Frequentes
Por que escrevemos sin²θ?
É uma convenção para evitar ambiguidade. $\sin \theta^2$ poderia parecer que estamos a elevar o ângulo ao quadrado.