Fórmula de Heron
Descrição
A Fórmula de Heron é um teorema fundamental na geometria que permite calcular a área de um triângulo conhecendo *apenas* os comprimentos dos seus três lados ($a, b, c$). Ao contrário da fórmula padrão $A = \frac{1}{2}bh$, você não precisa calcular a altura vertical nem medir ângulos.
A chave da fórmula é o **Semiperímetro ($s$)**, que é a metade do perímetro total do triângulo: $$s = \frac{a + b + c}{2}$$
Esta fórmula funciona para qualquer tipo de triângulo: equilátero, isósceles ou escaleno. É particularmente útil em agrimensura, onde medir comprimentos de lados é mais fácil do que estabelecer uma altura perpendicular.
História & Origens
A fórmula tem o nome de Heron de Alexandria (c. 10 – 70 d.C.), um engenheiro e matemático grego que a provou em seu livro Metrica. No entanto, muitos historiadores acreditam que a fórmula já era conhecida muito antes por Arquimedes (c. 250 a.C.). Como o livro de Heron era uma compilação de conhecimento matemático, ele provavelmente preservou o trabalho de Arquimedes. Curiosamente, uma fórmula semelhante para a área de um quadrilátero cíclico (Fórmula de Brahmagupta) foi descoberta por matemáticos indianos no século VII, da qual a fórmula de Heron é um caso especial.
Prova Algébrica usando Trigonometria
Derivamos isso combinando a fórmula de área padrão com a Lei dos Cossenos.
Comece com a Área: $Área = \frac{1}{2}ab \sin C$.
Eleve ao quadrado: $Área^2 = \frac{1}{4}a^2b^2 \sin^2 C$.
Use a Identidade Pitagórica: $\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = (1-\cos C)(1+\cos C)$.
Substitua a Lei dos Cossenos para $\cos C$: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
Substitua isso de volta na equação de área. Após álgebra simples, os termos fatoram-se.
A expressão simplifica para $\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$.
Substituindo $s = (a+b+c)/2$, isso torna-se $s(s-a)(s-b)(s-c)$.
Tire a raiz quadrada para obter a Fórmula de Heron.
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
A | Área |
a, b, c | Comprimentos dos três lados |
s | Semiperímetro (metade do perímetro) |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar a área de um triângulo com lados 3, 4, 5
Solução :
Agrimensura
Problema : Um terreno triangular tem lados de 30m, 40m e 50m. Qual é a sua área?
Solução : 600 m²
- Calcular Semiperímetro: $s = \frac{30+40+50}{2} = \frac{120}{2} = 60$ m.
- Calcular diferenças: $(s-a) = 30$, $(s-b) = 20$, $(s-c) = 10$.
- Aplicar Fórmula: $A = \sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10}$.
- Multiplicar: $60 \times 30 = 1800$. $20 \times 10 = 200$. $1800 \times 200 = 360.000$.
- Raiz Quadrada: $\sqrt{360.000} = 600$.
Triângulo Equilátero
Problema : Encontrar a área de um triângulo equilátero com lado 6.
Solução : 15,59
- Lados: $a=6, b=6, c=6$.
- Semiperímetro: $s = \frac{18}{2} = 9$.
- Fórmula: $A = \sqrt{9(9-6)(9-6)(9-6)} = \sqrt{9(3)(3)(3)}$.
- Calcular: $\sqrt{243} \approx 15,588$.
Erros Comuns
Esquecer de dividir o perímetro por 2
Lembre-se de que $s$ é o **Semi**-perímetro. Se você usar o perímetro total, o número sob a raiz quadrada será enorme e incorreto.
Violar a Desigualdade Triangular
Se a soma de dois lados for menor que o terceiro (ex: lados 1, 2, 10), o triângulo não pode existir. Na fórmula de Heron, isso resulta em um número negativo sob a raiz (área imaginária).
Aplicações reais
Computação Gráfica 3D
Na modelagem 3D, objetos são malhas de milhares de triângulos. Para calcular propriedades de superfície, o computador precisa da área desses triângulos. Como o computador conhece as coordenadas 3D $(x,y,z)$ dos vértices, ele calcula primeiro os comprimentos dos lados e depois usa a fórmula de Heron para encontrar a área sem precisar calcular uma "altura".
GPS e Geodésia
Ao medir grandes áreas triangulares na superfície da Terra, os agrimensores medem as distâncias entre três pontos (lados). A fórmula de Heron é a maneira padrão de converter essas medições de distância em área.
Perguntas Frequentes
Posso usar se souber a altura?
Pode, mas a fórmula padrão $A = \frac{1}{2}bh$ é muito mais rápida. Heron é melhor quando a altura é desconhecida.
O que acontece se s-a for negativo?
Isso significa que seu triângulo é impossível! Um lado ($a$) não pode ser maior que a soma das outras duas partes do perímetro.