Média Aritmética
Descrição
A Média Aritmética, comumente conhecida simplesmente como a "média", é a medida mais fundamental de tendência central em estatística e matemática. Ela representa o "ponto de equilíbrio" teórico ou centro de gravidade de um conjunto de dados. Se você colocasse pesos em uma alavanca sem peso correspondendo ao valor de cada ponto de dados, o fulcro precisaria ser colocado exatamente na média para equilibrar a viga.
Matematicamente, é definida como a soma de todos os valores dividida pela contagem total de valores. Embora intuitiva e fácil de calcular, a média tem uma característica específica: é sensível a valores atípicos extremos. Por exemplo, se dez pessoas em uma sala ganham 50 mil €, e um bilionário entra ganhando 1 milhão €, a renda média será fortemente distorcida para cima, possivelmente não refletindo a pessoa "típica" (para a qual a Mediana pode ser uma medida melhor).
A média é denotada por $\bar{x}$ (lê-se "x-barra") quando se refere a uma amostra de dados, e pela letra grega $\mu$ (mi) quando se refere a uma população inteira.
História & Origens
O conceito de "média" ou "meio" tem sido estudado desde a antiguidade. Pitagóricos (c. 500 a.C.): O matemático grego Arquitas de Tarento, contemporâneo de Platão, distinguiu entre três tipos de médias: a Média Aritmética, a Média Geométrica e a Média Harmônica. Para os Pitagóricos, essas proporções estavam conectadas à teoria musical e à harmonia do universo. Adolphe Quetelet (Século XIX): Um estatístico belga que introduziu o conceito do "Homem Médio" (l'homme moyen), aplicando a média aritmética às características físicas e sociais humanas, estabelecendo as bases para a sociologia moderna.
Prova: A Soma dos Desvios é Zero
Uma propriedade chave da média é que a soma das distâncias (desvios) de todos os pontos de dados da média é sempre zero. Isso confirma que é o centro de gravidade.
Seja o desvio de um ponto $x_i$ da média $\bar{x}$ denotado como $d_i = x_i - \bar{x}$.
Queremos encontrar a soma de todos os desvios: $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})$.
Distribua o somatório: $\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}$.
Como $\bar{x}$ é uma constante (não muda com i), $\sum_{i=1}^{n} \bar{x} = n\bar{x}$.
Então a expressão torna-se: $\sum_{i=1}^{n} x_i - n\bar{x}$.
Lembre-se da definição da média: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$. Multiplique ambos os lados por n para obter $\sum x_i = n\bar{x}$.
Substitua $n\bar{x}$ por $\sum x_i$: $n\bar{x} - n\bar{x} = 0$.
Conclusão: A soma dos desvios da média é sempre zero.
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
x̄ | Média da Amostra (lê-se "x-barra") |
μ | Média da População (lê-se "mi") |
n | Número de valores (contagem) |
Σ | Somatório (Sigma) - somar tudo |
xᵢ | Valores individuais no conjunto de dados |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar a média das notas: 70, 80, 80, 90, 100
Solução :
Média Escolar (GPA)
Problema : Um estudante tem as seguintes notas: Matemática (95), História (85), Ciências (70), Arte (90). Qual é a nota média?
Solução : 85
- Liste os valores: $x_1=95, x_2=85, x_3=70, x_4=90$.
- Conte os itens: $n = 4$.
- Calcule a Soma ($\Sigma x$): $95 + 85 + 70 + 90 = 340$.
- Divida por n: $\bar{x} = 340 / 4$.
- Resultado: 85.
Esportes: Pontos Por Jogo
Problema : Um jogador de basquete marca 12, 25, 18 e 15 pontos em 4 jogos. Qual é a sua média de pontuação?
Solução : 17,5 PPJ
- Soma: $12 + 25 + 18 + 15 = 70$.
- Contagem: 4 jogos.
- Média: $70 / 4 = 17,5$.
- O jogador tem uma média de 17,5 pontos por jogo.
Erros Comuns
Confundir Média e Mediana
A Média é a soma dividida pela contagem. A Mediana é o número do meio quando ordenados. Elas são diferentes, especialmente se houver valores atípicos.
Fazer a Média das Médias
Se a Turma A tem 10 alunos com média 90, e a Turma B tem 100 alunos com média 80, você não pode simplesmente dizer (90+80)/2 = 85. Você deve usar uma "Média Ponderada" baseada no tamanho da turma.
Aplicações reais
Finanças e Economia
A média é usada para calcular retornos de ações ao longo do tempo ou a "Média Móvil" para suavizar flutuações de preços. Em economia, o PIB per capita é a média aritmética da produção econômica total de um país dividida pela sua população.
Processamento de Sinais
Em eletrônica, o "offset DC" de um sinal é essencialmente sua tensão média. Engenheiros frequentemente calculam a média para remover o componente DC e focar no componente AC (flutuações).
Perguntas Frequentes
Quando devo usar a Mediana em vez da Média?
Use a Mediana quando seus dados tiverem valores atípicos extremos (como preços de casas ou salários), pois a Média pode ser distorcida por valores muito altos ou baixos.
Qual é a diferença entre x-barra e mi?
$\bar{x}$ é para uma AMOSTRA (uma parte dos dados). $\mu$ é para a POPULAÇÃO (todos os dados possíveis). O cálculo é o mesmo, mas a notação indica o escopo.