Fórmula da Distância

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

Descrição

A Fórmula da Distância é uma aplicação direta do Teorema de Pitágoras usada para encontrar a distância em linha reta entre dois pontos quaisquer num sistema de coordenadas cartesiano. Permite-nos medir "a que distância" estão duas localizações uma da outra, mesmo se o caminho for diagonal.

A fórmula é derivada criando um triângulo retângulo onde: * O **cateto horizontal** é a mudança em x ($x_2 - x_1$). * O **cateto vertical** é a mudança em y ($y_2 - y_1$). * A **hipotenusa** é a distância $d$ entre os pontos.

Este conceito é fundamental não apenas na aula de matemática, mas em ciência da computação (deteção de colisão em jogos), navegação (GPS) e física. Embora esta fórmula específica meça a "distância euclidiana" (linha reta), existem outras métricas como a "distância de Manhattan" (caminhos tipo grelha) para diferentes contextos.

História & Origens

A capacidade de calcular distâncias diagonais está ligada à história do Teorema de Pitágoras. Pitágoras (c. 570 a.C.): O princípio subjacente ($a^2 + b^2 = c^2$) era conhecido pelos babilónios e indianos muito antes, mas os gregos formalizaram-no como uma verdade geométrica. René Descartes (1637): A forma algébrica específica que usamos hoje — usando coordenadas $(x,y)$ — foi possível graças à invenção da geometria analítica por Descartes. Ao fundir a álgebra com a geometria, ele permitiu que as distâncias fossem calculadas puramente a partir de coordenadas numéricas em vez de medições físicas.

Derivação usando o Teorema de Pitágoras

Podemos construir um triângulo retângulo entre quaisquer dois pontos para encontrar a hipotenusa.

Sejam os dois pontos $P_1(x_1, y_1)$ e $P_2(x_2, y_2)$.

Desenhe uma linha horizontal de $P_1$ e uma linha vertical de $P_2$. Elas encontram-se num ponto $C(x_2, y_1)$.

A distância do lado horizontal (cateto a) é $|x_2 - x_1|$.

A distância do lado vertical (cateto b) é $|y_2 - y_1|$.

Pelo Teorema de Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$), a distância ao quadrado é $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Tire a raiz quadrada de ambos os lados para obter $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Variáveis

Símbolo	Significado
`d`	Distância
`(x₁, y₁)`	Coordenadas do primeiro ponto
`(x₂, y₂)`	Coordenadas do segundo ponto

Exemplo

Cálculo Básico

Problema : Encontrar a distância entre (1, 2) e (4, 6)

Solução :

d = 5

Determinar o Raio

Problema : Um círculo tem o seu centro em (0, 0) e passa pelo ponto (3, 4). Qual é o raio?

Solução : 5

Identificar pontos: Centro $(x_1, y_1) = (0, 0)$, Borda $(x_2, y_2) = (3, 4)$.
Substituir na fórmula: $r = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2}$.
Simplificar: $r = \sqrt{3^2 + 4^2}$.
Calcular: $r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$.
Resultado: Raio = 5.

Colisão em Videojogos

Problema : Um jogador está em (10, 10) com um raio de colisão de 2. Um inimigo está em (12, 10). Estão a colidir?

Solução : Sim

Calcular distância: $d = \sqrt{(12-10)^2 + (10-10)^2}$.
Simplificar: $d = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
Comparar com o raio: A distância (2) é exatamente igual ao raio de colisão.
Conclusão: Estão a tocar-se (colidir).

Erros Comuns

❌ Erro

Subtrair na ordem errada

✅ Correção

Embora $(x_2-x_1)^2$ seja o mesmo que $(x_1-x_2)^2$, é uma boa prática ser consistente. No entanto, tenha cuidado para não misturar x e y: $(x_2 - y_1)$ está errado.

❌ Erro

Esquecer de elevar ao quadrado

✅ Correção

Um erro comum é escrever $\sqrt{(x_2-x_1) + (y_2-y_1)}$. Você DEVE elevar as diferenças ao quadrado antes de as somar.

❌ Erro

Subtrair os Quadrados

✅ Correção

A fórmula é $a^2 + b^2$. Não os subtraia ($a^2 - b^2$) dentro da raiz.

Aplicações reais

Aprendizagem Automática (KNN)

Em IA, o algoritmo "K-Nearest Neighbors" classifica pontos de dados com base nos grupos conhecidos aos quais estão mais próximos. Calcula a "Distância" entre pontos de dados num espaço multidimensional para decidir se uma imagem é um gato ou um cão.

Desenvolvimento de Jogos

Os jogos calculam a distância milhares de vezes por segundo para verificar se uma bala atingiu um alvo, se um jogador está perto o suficiente para abrir uma porta, ou para renderizar objetos 3D no tamanho correto com base na distância a que estão.

Perguntas Frequentes

A ordem dos pontos importa?

Não. Como você eleva a diferença ao quadrado, $(5-2)^2 = 3^2 = 9$ e $(2-5)^2 = (-3)^2 = 9$. O resultado é o mesmo.

O que é a Distância de Manhattan?

A distância euclidiana é "em linha reta" (diagonal). A distância de Manhattan é como conduzir em quarteirões da cidade: $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$. É usada em pathfinding baseado em grelha.