Definição de Tangente
Descrição
A função Tangente (abreviada como $\tan$) é uma das três razões trigonométricas fundamentais, juntamente com o Seno e o Cosseno. Enquanto o Seno e o Cosseno relacionam um ângulo à hipotenusa, a Tangente relaciona os dois catetos de um triângulo retângulo um com o outro: o lado **Oposto** ao ângulo e o lado **Adjacente** ao ângulo.
A mnemónica **TOA** (parte de SOH CAH TOA) ajuda a lembrar esta definição: * **T**angente = **O**posto / **A**djacente
**Interpretação Geométrica:** * **Inclinação:** No sistema de coordenadas cartesiano, a tangente de um ângulo $\theta$ é exatamente a **inclinação** (subida sobre corrida) da linha que forma esse ângulo com o eixo x positivo. $\tan(\theta) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$. * **A Linha "Tangente":** No Círculo Unitário, se desenhar uma linha vertical tangente ao círculo em $x=1$, a tangente de $\theta$ é o comprimento do segmento nessa linha vertical do eixo x até à extensão do lado terminal do ângulo. É por isso que se chama "tangente" (que toca).
**Propriedades Chave:** * **Intervalo:** Ao contrário do Seno e do Cosseno que estão presos entre -1 e 1, a Tangente pode assumir qualquer valor real de $-\infty$ a $+\infty$. * **Assíntotas:** A função é indefinida em $90^\circ$ ($\\frac{\pi}{2}$) e $270^\circ$ ($3\\frac{\pi}{2}$), porque o lado Adjacente (cosseno) torna-se zero, levando a uma divisão por zero. No gráfico, estas aparecem como assíntotas verticais.
História & Origens
O conceito da tangente é na verdade mais antigo que o seno e o cosseno em termos de uso prático, em grande parte devido ao estudo das sombras. Sombras Antigas (Gnomónica): As civilizações antigas usavam gnómons (varas verticais) para ver as horas. A relação entre a altura da vara e o comprimento da sua sombra é essencialmente a função tangente (ou cotangente). Tales de Mileto usou este princípio para medir a altura da Grande Pirâmide esperando até que o comprimento da sua própria sombra igualasse a sua altura (quando $\tan(\theta) = 1$, ângulo = 45°). Matemática Islâmica (c. 800-900 d.C.): O matemático persa Al-Marwazi produziu a primeira tabela de tangentes (comprimentos de sombra). Mais tarde, Al-Biruni e Al-Battani definiram a tangente como uma função trigonométrica distinta das tabelas de sombras. Thomas Fincke (1583): O matemático dinamarquês que cunhou pela primeira vez o termo "tangente" no seu livro Geometria Rotundi. Vem do latim tangere, que significa "tocar", referindo-se à interpretação geométrica no círculo unitário.
Derivação de Seno e Cosseno
Podemos derivar a fórmula da tangente diretamente das definições de seno e cosseno.
Lembre-se Seno: $\sin(\theta) = \frac{\text{Oposto}}{\text{Hipotenusa}}$.
Lembre-se Cosseno: $\cos(\theta) = \frac{\text{Adjacente}}{\text{Hipotenusa}}$.
Divida Seno por Cosseno: $\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\frac{\text{Oposto}}{\text{Hipotenusa}}}{\frac{\text{Adjacente}}{\text{Hipotenusa}}}$.
Simplifique a fração: Os termos "Hipotenusa" cancelam-se.
Resultado: $\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\text{Oposto}}{\text{Adjacente}}$.
Por definição, isto é $\tan(\theta)$.
Prova Geométrica (Círculo Unitário)
Por que é o comprimento da linha tangente?
Desenhe um círculo unitário (raio $r=1$) e um ângulo $\theta$ na origem.
Desenhe uma linha vertical tocando o círculo em $(1,0)$. Esta é a linha tangente.
Estenda o lado terminal do ângulo até que atinja esta linha vertical no ponto $T(1, y)$.
Forme um triângulo retângulo com a origem $(0,0)$, o ponto $(1,0)$ e $T(1,y)$.
O lado Adjacente é o raio, que é 1.
O lado Oposto é a altura $y$.
Calcule a razão: $\tan(\theta) = \frac{\text{Oposto}}{\text{Adjacente}} = \frac{y}{1} = y$.
Assim, a coordenada y da interseção na linha tangente é a tangente do ângulo.
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
θ | Ângulo (graus ou radianos) |
oposto | Cateto oposto ao ângulo |
adjacente | Cateto adjacente ao ângulo (não hipotenusa) |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar tan(45°)
Solução :
Medindo a Altura de um Edifício
Problema : Você está a 50 metros da base de um edifício. Mede o ângulo de elevação até o topo como 60°. Qual a altura do edifício?
Solução : ~86.6 metros
- Identificar conhecidos: Adjacente = 50m, Ângulo = 60°.
- Identificar desconhecido: Oposto (Altura).
- Escolher razão: TOA (Tangente = Oposto / Adjacente).
- Equação: $\tan(60^\circ) = \frac{h}{50}$.
- Saber que $\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732$.
- Resolver: $h = 50 \times 1.732$.
- Resultado: $h \approx 86.6$ metros.
Inclinação de um Telhado
Problema : Um telhado sobe 4 metros para cada 12 metros de corrida horizontal. Qual é o ângulo do telhado?
Solução : ~18.4°
- Identificar: Oposto (Subida) = 4, Adjacente (Corrida) = 12.
- Fórmula: $\tan(\theta) = \frac{4}{12} = 0.333$.
- Usar Tangente Inversa: $\theta = \tan^{-1}(0.333)$.
- Calcular: $\theta \approx 18.43^\circ$.
Erros Comuns
Usar Hipotenusa
A Tangente NUNCA usa a hipotenusa. É apenas Oposto e Adjacente. Se tiver a hipotenusa, use Seno ou Cosseno.
tan(90°)
Os alunos tentam frequentemente calcular $\tan(90^\circ)$ e obtêm "Erro" ou assumem que é 0. É INDEFINIDO (infinito) porque o lado adjacente torna-se 0.
Aplicações reais
Topografia e Cartografia
Os topógrafos usam um instrumento chamado Teodolito para medir ângulos horizontais e verticais. Conhecendo o ângulo e uma distância base (adjacente), usam a função tangente para calcular elevações de montanhas ou alturas de marcos sem os escalar.
Física: Coeficiente de Atrito
Se colocar um bloco numa rampa e inclinar lentamente, o bloco começará a deslizar num ângulo específico $\theta$. O "coeficiente de atrito estático" $\mu$ é exatamente igual a $\tan(\theta)$. Esta experiência simples permite aos físicos determinar propriedades de atrito de materiais.
Perguntas Frequentes
Por que tan(45°) = 1?
A 45 graus, o triângulo é um triângulo retângulo isósceles. Os lados Oposto e Adjacente têm exatamente o mesmo comprimento. Qualquer número dividido por si mesmo é 1.
Como a Tangente se relaciona com a Inclinação?
São a mesma coisa! A inclinação $m$ de uma linha é definida como $\frac{\text{Subida}}{\text{Corrida}}$, que é exatamente $\frac{\text{Oposto}}{\text{Adjacente}}$, ou $\tan(\theta)$.