Definição de Seno
Descrição
A função Seno (abreviada como $\sin$) é uma das três principais razões trigonométricas, formando a base da trigonometria juntamente com o Cosseno e a Tangente. Relaciona o ângulo de um triângulo retângulo à razão entre o comprimento do cateto oposto a esse ângulo e o comprimento da hipotenusa.
A mnemónica **SOH CAH TOA** ajuda a lembrar esta definição: * **S**eno = **O**posto / **H**ipotenusa * Cosseno = Adjacente / Hipotenusa * Tangente = Oposto / Adjacente
Além dos triângulos, a função seno é fundamental para descrever fenómenos periódicos. No círculo unitário (um círculo com raio 1), se medir um ângulo $\theta$ a partir do eixo x positivo, a coordenada y do ponto no círculo é exatamente $\sin(\theta)$. Isto permite definir o seno para todos os números reais, não apenas ângulos entre 0° e 90°.
História & Origens
O conceito de seno tem uma rica história que abrange várias civilizações. Antiga Índia (c. 500 d.C.): O matemático Aryabhata usou o termo ardha-jya (meia-corda) para descrever o seno. Isso foi mais tarde encurtado para jya ou jiva. Era de Ouro Islâmica (c. 800 d.C.): Os matemáticos árabes traduziram os textos em sânscrito. Transliteraram jiva para árabe como jiba. Como o árabe é escrito sem vogais curtas, foi escrito como jb. Leitores posteriores interpretaram isso como jayb, que significa "bolso" ou "dobra" em árabe. Europa Medieval (c. 1150 d.C.): Quando Gerardo de Cremona traduziu estes textos árabes para latim, traduziu jayb para a palavra latina para bolso/dobra: sinus. Esta tradução incorreta permaneceu, dando-nos a palavra moderna "seno".
Definição do Círculo Unitário
A função seno estende-se além dos triângulos retângulos usando o círculo unitário.
Desenhe um círculo com raio $r=1$ centrado em $(0,0)$.
Desenhe uma linha da origem fazendo um ângulo $\theta$ com o eixo x positivo.
Esta linha interseta o círculo num ponto $P(x,y)$.
Desenhe uma linha vertical de $P$ até ao eixo x para formar um triângulo retângulo.
A hipotenusa é o raio, então $H = 1$.
O lado oposto a $\theta$ é a altura vertical $y$.
Por definição, $\sin(\theta) = \frac{\text{Oposto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{y}{1} = y$.
Assim, no círculo unitário, o seno é simplesmente a coordenada y.
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
θ | Ângulo (em graus ou radianos) |
oposto | Comprimento do cateto oposto ao ângulo |
hipotenusa | Comprimento do lado mais longo (oposto a 90°) |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar sin(30°)
Solução :
Problema da Escada
Problema : Uma escada de 10 metros está encostada a uma parede fazendo um ângulo de 60° com o chão. A que altura da parede ela chega?
Solução : ~8.66 metros
- Identificar conhecidos: Hipotenusa (escada) = 10m, Ângulo $\theta = 60^\circ$.
- Identificar desconhecido: Lado oposto (altura da parede).
- Escolher razão: SOH (Seno = Oposto / Hipotenusa).
- Equação: $\sin(60^\circ) = \frac{h}{10}$.
- Resolver para h: $h = 10 \times \sin(60^\circ)$.
- Calcular: $h = 10 \times 0.866 = 8.66$ metros.
Ondas Sonoras
Problema : Um tom puro é modelado por $y(t) = A \sin(2\pi f t)$. Se a amplitude A=5 e a frequência f=440Hz, qual é o valor em t=0.001s?
Solução : ~1.91
- Equação: $y = 5 \sin(2\pi \times 440 \times 0.001)$.
- Calcular ângulo: $2\pi \times 0.44 \approx 2.76$ radianos.
- Calcular seno: $\sin(2.76) \approx 0.38$.
- Multiplicar pela Amplitude: $5 \times 0.38 = 1.9$.
Erros Comuns
Graus vs Radianos
Calculadoras têm dois modos. $\sin(30^\circ) = 0.5$, mas $\sin(30 \text{ rad}) = -0.98$. Verifique sempre o seu modo!
Confundir Seno e Cosseno
Lembre-se SOH CAH TOA. Seno é Oposto, Cosseno é Adjacente. Se o lado toca o ângulo, é Adjacente (Cosseno).
Aplicações reais
Som e Música
Tons musicais são ondas sonoras compostas por ondas senoidais em diferentes frequências. Sintetizadores criam sons somando várias ondas senoidais.
Corrente Alternada (CA)
A eletricidade na sua tomada alterna a direção num padrão de onda senoidal suave. Engenheiros usam funções seno para modelar tensão e corrente ao longo do tempo.
Perguntas Frequentes
Por que o seno está entre -1 e 1?
Num triângulo retângulo, o cateto oposto nunca pode ser maior que a hipotenusa, então a razão não pode exceder 1. No círculo unitário, a coordenada y vai de -1 (baixo) a 1 (cima).
O que é o seno inverso?
O seno inverso ($\sin^{-1}$ ou arcsin) faz o contrário: pega uma razão e diz o ângulo. Se $\sin(\theta) = 0.5$, então $\theta = 30^\circ$.