Circunferência do Círculo
Descrição
A circunferência é a distância linear ao redor da borda externa de um círculo. É essencialmente o "perímetro" do círculo. A fórmula $C = 2\pi r$ (ou $C = \pi d$) conecta esse comprimento curvo diretamente à largura do círculo (diâmetro) ou raio.
Essa relação implica que, para qualquer círculo, não importa quão grande ou pequeno, a razão entre sua circunferência e seu diâmetro é sempre o mesmo número constante: $\pi$ (aproximadamente 3.14159).
Visualmente, se você cortasse um círculo e o desenrolasse plano, o comprimento dessa linha reta seria a circunferência.
História & Origens
A descoberta da razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro é uma das primeiras conquistas matemáticas. Babilônios (c. 1900 a.C.): Aproximaram $\pi$ como 3.125. Egípcios Antigos (c. 1650 a.C.): O Papiro de Rhind fornece um valor equivalente a 3.16. Arquimedes (c. 250 a.C.): Foi o primeiro a aproximar rigorosamente $\pi$ inscrevendo e circunscrevendo polígonos com muitos lados ao redor de um círculo. Ele determinou que o valor está entre $3\frac{10}{71}$ e $3\frac{1}{7}$. Zu Chongzhi (c. 480 d.C.): Um matemático chinês que calculou $\pi$ com sete casas decimais (3.1415926) usando um polígono de 12.288 lados, um recorde que durou 800 anos.
Limite de um Polígono Regular
Podemos aproximar um círculo como um polígono regular com um número infinito de lados.
Considere um polígono regular de $n$ lados inscrito em um círculo de raio $r$.
Divida o polígono em $n$ triângulos isósceles com ângulo central $\theta = \frac{360^\circ}{n}$.
A base de cada triângulo (um lado do polígono) tem comprimento $s = 2r \sin(\frac{180^\circ}{n})$.
O perímetro total do polígono é $P_n = n \times s = 2nr \sin(\frac{180^\circ}{n})$.
À medida que $n$ se aproxima do infinito (mais e mais lados), o polígono se torna um círculo.
Usando o limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (onde $x$ está em radianos), podemos mostrar que quando $n \to \infty$, $P_n \to 2\pi r$.
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
C | Circunferência (Perímetro) |
r | Raio (Distância do centro à borda) |
π | Pi (aprox. 3.14159) |
d | Diâmetro (2r) |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar circunferência com r=7
Solução :
Odômetro de Bicicleta
Problema : Uma roda de bicicleta tem um diâmetro de 70 cm. Qual a distância que a bicicleta percorre em uma volta completa da roda?
Solução : ~2.2 metros
- Identificar Diâmetro: $d = 70$ cm.
- Fórmula: $C = \pi d$ (já que $2r = d$).
- Substituir: $C = \pi \times 70$.
- Calcular: $C \approx 3.14159 \times 70 \approx 219.91$ cm.
- Converter para metros: $2.199$ metros.
Pista de Corrida
Problema : Uma pista de corrida circular tem um raio de 50 metros. Se um corredor der 10 voltas, quanto ele correu?
Solução : ~3.14 km
- Calcular circunferência de uma volta: $C = 2\pi(50) = 100\pi$.
- Valor para uma volta: $100 \times 3.14159 \approx 314.16$ metros.
- Multiplicar por 10 voltas: $314.16 \times 10 = 3141.6$ metros.
- Converter para km: $3.14$ km.
Erros Comuns
Confundir Área e Circunferência
Lembre-se: Área é o espaço DENTRO ($A = \pi r^2$, unidades quadradas). Circunferência é a distância AO REDOR ($C = 2\pi r$, unidades lineares).
Misturar Raio e Diâmetro
Verifique se o problema fornece raio ($r$) ou diâmetro ($d$). Lembre-se $d = 2r$. Se você usar o diâmetro na fórmula $2\pi r$ sem dividir por 2, sua resposta será o dobro do que deveria ser.
Aplicações reais
Engenharia Mecânica (Engrenagens)
A circunferência determina a relação de transmissão e a distância percorrida. Se uma engrenagem com circunferência de 10cm gira uma engrenagem com circunferência de 20cm, a segunda engrenagem gira exatamente metade da velocidade.
Circunferência da Terra
Eratóstenes (c. 240 a.C.) calculou a circunferência da Terra medindo ângulos de sombra em duas cidades diferentes. Ele usou geometria simples para estimar que era cerca de 40.000 km, o que é incrivelmente próximo do valor moderno (40.075 km).
Perguntas Frequentes
Qual é a diferença entre pi e 3.14?
Pi ($\pi$) é um número irracional com casas decimais infinitas. 3.14 é apenas uma aproximação arredondada. Usar $\pi$ é sempre mais preciso.
Perímetro é o mesmo que circunferência?
Sim. "Perímetro" é o termo geral para a distância ao redor de qualquer forma. "Circunferência" é o nome específico para o perímetro de um círculo.