Área do Trapézio
Descrição
A área de um trapézio é determinada pelo comprimento dos seus dois lados paralelos (chamados Base Maior $B$ e Base Menor $b$) e pela sua altura vertical. A fórmula $A = \frac{B+b}{2}h$ pode ser interpretada como calcular a área de um retângulo que tem a mesma altura, mas uma largura igual à *média* das larguras superior e inferior.
Essencialmente, você está convertendo o trapézio irregular num retângulo equivalente mais simples.
Esta forma é omnipresente na engenharia civil e arquitetura. É vista em secções transversais de barragens, canais e aterros de estradas, porque os lados inclinados fornecem estabilidade estrutural.
História & Origens
A necessidade de calcular a área de trapézios remonta aos primeiros dias da agrimensura. Antiga Babilónia (c. 1900 a.C.): Tábuas de argila mostram que agrimensores babilónicos calculavam a área de campos trapezoidais. Eles entendiam o princípio de fazer a média dos lados paralelos. Antigo Egito: O Papiro de Rhind contém problemas envolvendo a área de parcelas de terra trapezoidais ao longo do Nilo. Liu Hui (Século III d.C.): O matemático chinês calculava áreas de trapézios usando o princípio de disseção, cortando e reorganizando partes da forma.
Prova Visual (Método de Duplicação)
A maneira mais simples de provar a fórmula é transformar o trapézio numa forma que já conhecemos: um paralelogramo.
Pegue um trapézio com bases $B$ e $b$ e altura $h$.
Faça uma cópia exata do trapézio.
Vire a cópia de cabeça para baixo (rotação de 180 graus).
Anexe a cópia ao lado do trapézio original.
A forma combinada forma um grande paralelogramo.
A base deste paralelogramo é a soma das duas bases: $(B + b)$. A altura permanece $h$.
A área de um paralelogramo é $\text{Base} \times \text{Altura} = (B+b)h$.
Como a nossa forma consiste em dois trapézios idênticos, a área de apenas um é metade do total: $A = \frac{1}{2}(B+b)h$.
Variáveis
| Símbolo | Significado |
|---|---|
A | Área |
B | Base Maior (lado paralelo mais longo) |
b | Base Menor (lado paralelo mais curto) |
h | Altura vertical |
Exemplo
Cálculo Básico
Problema : Encontrar a área com bases 6m e 10m, altura 4m.
Solução :
Engenharia Civil: Barragem
Problema : Uma barragem de terra tem uma secção transversal trapezoidal. A largura no topo é 20m, a base é 50m e a altura é 30m. Qual é a área?
Solução : 1050 m²
- Identificar bases: $B = 50$, $b = 20$.
- Identificar altura: $h = 30$.
- Média das bases: $\frac{50+20}{2} = 35$.
- Multiplicar pela altura: $35 \times 30 = 1050$.
- Área = 1050 m².
Carpintaria: Mesa
Problema : Uma mesa escolar é um trapézio. A borda frontal tem 1,5m, a traseira 0,9m e a profundidade 0,6m. Qual é a área?
Solução : 0,72 m²
- Fórmula: $A = \frac{B+b}{2}h$.
- Substituir: $B=1,5; b=0,9; h=0,6$.
- Média: $(1,5+0,9)/2 = 1,2$.
- Calcular: $1,2 \times 0,6 = 0,72$.
Erros Comuns
Usar o lado inclinado como altura
A altura ($h$) deve ser sempre a distância perpendicular entre as bases. Nunca use o comprimento dos lados inclinados.
Esquecer de dividir por 2
Um erro comum é calcular $(B+b)h$. Lembre-se de que você está fazendo a média das bases, então divida por 2.
Aplicações reais
Regra do Trapézio
Em cálculo, para encontrar a área sob uma curva (integração), um método padrão é cortar a área em muitos trapézios verticais finos. Isso geralmente fornece uma estimativa mais precisa do que usar retângulos, pois o topo inclinado se ajusta melhor à curva.
Aerodinâmica
Asas de avião são frequentemente trapezoidais. Engenheiros usam esta fórmula para calcular a área da asa, essencial para determinar sustentação e arrasto.
Perguntas Frequentes
Um quadrado é um trapézio?
Tecnicamente, sim. Um trapézio tem *pelo menos* um par de lados paralelos. Um quadrado tem dois, então conta.