Volume du Cône
Description
Le volume d'un cône est la quantité d'espace occupé à l'intérieur de la forme solide 3D. La formule $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ nous dit que le volume d'un cône est exactement **un tiers** du volume d'un cylindre avec le même rayon de base ($r$) et la même hauteur ($h$).
Pour visualiser cela, imaginez que vous avez un cône creux et un cylindre creux avec la même base et la même hauteur. Si vous remplissez le cône d'eau et le versez dans le cylindre, vous devrez le faire exactement trois fois pour remplir complètement le cylindre.
Cette relation est vraie pour toute forme pyramidale : le volume d'une pyramide est toujours 1/3 du prisme qui la contient.
Histoire & Origines
La relation entre le volume d'un cône et d'un cylindre a été prouvée pour la première fois par le mathématicien grec Eudoxe de Cnide (v. 390–337 av. J.-C.). Plus tard, Archimède (v. 287–212 av. J.-C.) a fourni une preuve rigoureuse utilisant sa "méthode d'exhaustion", qui était une forme primitive d'intégration. Il a découpé le cône en une infinité de disques fins pour sommer leurs volumes, inventant effectivement le calcul près de 2000 ans avant Newton et Leibniz.
Preuve par le Calcul (Méthode des Disques)
Nous calculons le volume en faisant tourner une ligne autour de l'axe y (ou en intégrant des disques transversaux le long de l'axe x).
Placez le cône avec sa pointe à l'origine $(0,0)$ et sa base à $x=h$.
Le rayon à tout point $x$ varie linéairement. L'équation de la ligne est $y = \frac{r}{h}x$.
Imaginez un disque vertical fin à la position $x$ avec une épaisseur $dx$.
L'aire de ce disque est $A(x) = \pi (rayon)^2 = \pi (\frac{r}{h}x)^2 = \pi \frac{r^2}{h^2}x^2$.
Intégrez de $0$ à $h$ : $V = \int_0^h \pi \frac{r^2}{h^2}x^2 dx$.
Sortez les constantes : $V = \frac{\pi r^2}{h^2} \int_0^h x^2 dx$.
Évaluez l'intégrale : $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$.
Substituez les limites : $V = \frac{\pi r^2}{h^2} [\frac{h^3}{3} - 0]$.
Simplifiez : $V = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
V | Volume (unités cubiques) |
r | Rayon de la base circulaire |
h | Hauteur verticale (de la base à la pointe) |
π | Pi (env. 3,14159) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver le volume d'un cône de rayon 3 et hauteur 10.
Solution :
Cornet de Glace
Problème : Un cornet de glace a un rayon de 3 cm et une hauteur de 10 cm. Quelle quantité de glace peut-il contenir (sans compter la boule au-dessus) ?
Solution : ~94,25 cm³
- Formule : $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
- Substituer : $V = \frac{1}{3}\pi (3)^2 (10)$.
- Mettre le rayon au carré : $3^2 = 9$.
- Calculer : $V = \frac{1}{3}\pi (9)(10) = 30\pi$.
- Décimale : $30 \times 3,14159 \approx 94,25$ cm³.
Tas de Sable
Problème : Du sable est versé en un tas conique. Le rayon de la base est de 5m et la hauteur de 4m. Quel est le volume du sable ?
Solution : 104,72 m³
- Formule : $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
- Substituer : $r=5, h=4$.
- Calculer : $V = \frac{1}{3}\pi (25)(4) = \frac{100}{3}\pi$.
- Résultat : $V \approx 104,72$ mètres cubes.
Erreurs Courantes
Utiliser la hauteur inclinée
La formule nécessite la hauteur verticale ($h$), pas la hauteur inclinée ($s$) le long du côté. Si vous n'avez que la hauteur inclinée, utilisez Pythagore ($r^2 + h^2 = s^2$) pour trouver $h$.
Oublier le 1/3
Les étudiants calculent souvent le volume d'un cylindre ($\pi r^2 h$). Rappelez-vous qu'un cône est "pointu", donc il contient beaucoup moins. Il contient exactement 1/3.
Applications réelles
Volcanologie
Les géologues approximent les stratovolcans (comme le Mont Fuji) comme des cônes pour estimer leur volume et leur masse. Cela aide à prédire l'ampleur des glissements de terrain potentiels ou des débris d'éruption.
Trémies Industrielles
Dans les usines, les grains ou les poudres sont stockés dans des silos à fond conique (trémies) pour assurer l'écoulement. Les ingénieurs ont besoin de calculs de volume précis pour déterminer la capacité et la charge structurelle sur les supports.
Questions Fréquemment Posées
Pourquoi est-ce 1/3 ?
Cela vient de l'intégration en calcul. Tout comme l'aire d'un triangle ($1/2 bh$) est la moitié d'un rectangle, le volume d'un cône ($1/3 \pi r^2 h$) est un tiers d'un cylindre. Cette "règle du 1/3" s'applique à toutes les pyramides et cônes.
Cela s'applique-t-il aux cônes obliques ?
Oui ! Le principe de Cavalieri stipule que tant que la hauteur et l'aire de base sont les mêmes, le volume est le même, même si la pointe est poussée sur le côté.