Théorème de Pythagore
Description
Le théorème de Pythagore est sans doute l'énoncé le plus célèbre des mathématiques, servant de lien fondamental entre l'algèbre et la géométrie. À la base, il décrit une relation spécifique entre les trois côtés d'un triangle rectangle. Il stipule que l'aire du carré dont le côté est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égale à la somme des aires des carrés des deux autres côtés. Mathématiquement, si 'a' et 'b' sont les longueurs des côtés et 'c' est la longueur de l'hypoténuse, cette relation s'exprime par a² + b² = c². Ce théorème n'est pas seulement une curiosité théorique ; il est la pierre angulaire des calculs impliqués dans tout, de la construction d'un escalier au calcul de la distance entre les étoiles. Il nous permet de convertir des coordonnées 2D en distances diagonales, formant la base de la formule de distance et, par extension, de toute la trigonométrie et de la géométrie de dimension supérieure.
Histoire & Origines
L'histoire du théorème de Pythagore s'étend sur des millénaires et des civilisations. Bien qu'il porte le nom du mathématicien et philosophe grec Pythagore de Samos (v. 570–495 av. J.-C.), la relation était comprise et utilisée bien avant sa naissance. Ancienne Babylone (v. 1900–1600 av. J.-C.) : Des tablettes d'argile de cette époque, comme Plimpton 322, listent des "triplets pythagoriciens" (solutions entières à a² + b² = c²) avec une précision remarquable. Cela suggère que les arpenteurs babyloniens utilisaient probablement des cordes nouées à intervalles (comme 3-4-5) pour créer des angles droits parfaits pour la division des terres et la construction. Inde Ancienne (v. 800-500 av. J.-C.) : Le Baudhayana Sulba Sutra contient un énoncé spécifique du théorème pour la construction d'autels, notant qu'une corde tendue le long de la diagonale d'un rectangle produit une aire égale à la somme des carrés des côtés verticaux et horizontaux. Pythagore et les Grecs : Pythagore est traditionnellement crédité de la première preuve déductive du théorème, l'élevant d'une règle empirique pratique à une vérité mathématique absolue. La légende raconte qu'il était si ravi de la découverte qu'il a sacrifié un bœuf aux dieux, bien que cela contredise les croyances végétariennes de l'école pythagoricienne. Euclide a plus tard immortalisé le théorème avec une preuve géométrique dans ses Éléments (Proposition 47), qui est devenu le manuel standard de géométrie pendant plus de 2000 ans.
Preuve Visuelle ("Preuve par Réarrangement")
Imaginez un grand carré de côté (a + b). Nous pouvons partitionner ce grand carré de deux manières différentes.
Méthode 1 : Placez quatre triangles rectangles identiques (côtés a, b ; hypoténuse c) dans les coins du grand carré. L'espace vide restant au centre est un carré incliné de côté c. Son aire est c².
Méthode 2 : Réarrangez ces mêmes quatre triangles en deux rectangles (chacun a par b) à l'intérieur du grand carré. L'espace vide restant forme maintenant deux carrés plus petits : un de côté "a" (aire a²) et un de côté "b" (aire b²).
Conclusion : Puisque l'aire totale du grand carré est inchangée et que l'aire des quatre triangles est constante, l'espace vide restant dans les deux méthodes doit être égal. Par conséquent, c² = a² + b².
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
a, b | Côtés (Adjacents à l'angle de 90°) |
c | Hypoténuse (Côté le plus long, opposé à l'angle de 90°) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Le cas le plus simple : Le triangle 3-4-5
Solution :
Calcul Standard de l'Hypoténuse
Problème : Une échelle est appuyée contre un mur. Le bas de l'échelle est à 6 mètres du mur et l'échelle atteint 8 mètres de hauteur sur le mur. Quelle est la longueur de l'échelle ?
Solution : 10 mètres
- Identifiez les côtés : a = 6, b = 8.
- Posez l'équation : c² = 6² + 8²
- Calculez les carrés : c² = 36 + 64
- Additionnez-les : c² = 100
- Prenez la racine carrée : c = √100 = 10 mètres.
Trouver un Côté Manquant (Soustraction)
Problème : Un triangle rectangle a une hypoténuse de 13 cm et un côté de 5 cm. Quelle est la longueur de l'autre côté ?
Solution : 12 cm
- Identifiez les connus : c = 13, a = 5. Nous devons trouver b.
- Posez l'équation : 5² + b² = 13²
- Calculez les carrés : 25 + b² = 169
- Isolez b² en soustrayant 25 des deux côtés : b² = 169 - 25
- Calculez : b² = 144
- Prenez la racine carrée : b = √144 = 12 cm.
Monde Réel : Diagonale d'un Écran
Problème : Vous venez d'acheter une télé "50 pouces" (mesurée en diagonale). L'écran fait 44 pouces de large. Quelle est la hauteur de l'écran ?
Solution : ~23,7 pouces
- Identifiez les connus : Hypoténuse c = 50, Largeur a = 44. Besoin de Hauteur b.
- Équation : 44² + b² = 50²
- Carrés : 1936 + b² = 2500
- Soustraction : b² = 2500 - 1936
- Résultat : b² = 564
- Racine carrée : b = √564 ≈ 23,75 pouces.
Erreurs Courantes
Additionner simplement les nombres (a + b = c)
Une erreur fréquente est de penser que si les côtés sont 3 et 4, l'hypoténuse est 7. C'est faux. Vous devez d'abord mettre les nombres au carré (9 + 16 = 25) avant de les additionner.
Oublier de prendre la racine carrée
Les étudiants s'arrêtent souvent à c² = 25 et disent que la réponse est 25. Vous devez vous rappeler l'étape finale : √25 = 5.
L'utiliser sur des triangles non rectangles
Le théorème ne s'applique que s'il y a un angle de 90°. Pour les autres triangles, vous devez utiliser la Loi des Cosinus (c² = a² + b² - 2ab cos(C)).
Applications réelles
Construction & Menuiserie
La "Méthode 3-4-5" est une astuce standard utilisée par les charpentiers pour tracer des coins carrés pour des fondations ou des terrasses sans outils sophistiqués. En marquant 3 mètres d'un côté et 4 mètres de l'autre, si la distance diagonale entre eux correspond exactement à 5 mètres, le coin est un angle parfait de 90°.
Aviation & Navigation
Les pilotes utilisent le théorème pour calculer la distance en ligne droite vers une destination en fonction de l'altitude et de la distance au sol. Si un avion est à 10 km horizontalement et 2 km d'altitude, la distance de voyage directe (distance oblique) est calculée via le théorème.
Taille d'Écran TV & Moniteur
Les tailles d'écran sont toujours annoncées par leur longueur diagonale (l'hypoténuse). Les fabricants et les consommateurs utilisent le théorème pour déterminer la largeur et la hauteur réelles d'un affichage en fonction de son rapport d'aspect.
Questions Fréquemment Posées
Qui a vraiment découvert le Théorème de Pythagore ?
Bien que Pythagore soit crédité de la première preuve formelle, le concept était utilisé de manière pratique par les Babyloniens (Mésopotamie) et les Indiens plus de 1000 ans avant lui pour arpenter les terres et construire des structures.
Quels sont les triplets pythagoriciens les plus courants ?
Les ensembles d'entiers les plus fréquents que vous rencontrerez dans les examens sont (3-4-5), (5-12-13), (8-15-17) et (7-24-25). Les mémoriser permet de gagner du temps de calcul.
Comment est-ce utilisé en 3D ?
Le théorème s'étend facilement à l'espace 3D : Distance Totale² = x² + y² + z². C'est essentiel pour la physique des jeux vidéo et les calculs GPS.