Théorème du Binôme
Description
Le Théorème du Binôme fournit un moyen rapide de développer des expressions de la forme $(a+b)^n$, où $n$ est un entier positif. Au lieu de multiplier manuellement $(a+b)$ par lui-même $n$ fois, le théorème utilise les **Coefficients Binomiaux**, notés $\binom{n}{k}$ (lu "k parmi n"), pour prédire les coefficients de chaque terme.
Les coefficients correspondent directement aux lignes du **Triangle de Pascal**. Par exemple, pour $n=3$, les coefficients sont 1, 3, 3, 1, correspondant à la troisième ligne du triangle.
Le théorème fonctionne en commençant par la puissance la plus élevée de $a$ et la puissance zéro de $b$, puis pour chaque terme suivant, en diminuant la puissance de $a$ de 1 et en augmentant la puissance de $b$ de 1, jusqu'à atteindre $b^n$.
Histoire & Origines
Bien que nommé d'après Newton, le modèle des coefficients était connu des siècles plus tôt à travers le monde. Pingala (v. 200 av. J.-C.) : Mathématicien indien qui a décrit le "Meru Prastara", essentiellement le Triangle de Pascal. Al-Karaji (v. 1000 apr. J.-C.) : Mathématicien perse qui a entièrement compris le développement de $(a+b)^n$ pour des puissances entières. Yang Hui (v. 1200 apr. J.-C.) : Mathématicien chinois qui a présenté le triangle, encore appelé "Triangle de Yang Hui" en Chine aujourd'hui. Isaac Newton (1665) : Newton a généralisé le théorème pour permettre des exposants non entiers et négatifs (séries infinies).
Preuve par Récurrence
Nous pouvons prouver que le théorème est vrai pour tous les entiers $n \geq 1$ par récurrence.
**Cas de Base ($n=1$) :** $(a+b)^1 = a + b$. La formule donne $\binom{1}{0}a^1b^0 + \binom{1}{1}a^0b^1 = 1a + 1b$. Ça marche.
**Hérédité :** Supposons que la formule est vraie pour un entier $n$. Montrons qu'elle fonctionne pour $n+1$.
Considérez $(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n$.
Substituez la formule pour $(a+b)^n$.
Distribuez $a$ et $b$ dans la somme.
Utilisez l'Identité de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$.
Les coefficients résultants correspondent parfaitement à la formule pour $n+1$.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
a, b | Termes du binôme |
n | Exposant (Entier positif) |
k | Indice du terme (de 0 à n) |
nCr | Coefficient Binomial (k parmi n) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Développer (x+2)³
Solution :
Développement avec Coefficients
Problème : Développer $(2x - 3)^3$.
Solution : $8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$
- Identifier $a=2x$, $b=-3$, $n=3$.
- Les coefficients pour $n=3$ sont 1, 3, 3, 1.
- Terme 1 : $1 \cdot (2x)^3 (-3)^0 = 8x^3$.
- Terme 2 : $3 \cdot (2x)^2 (-3)^1 = -36x^2$.
- Terme 3 : $3 \cdot (2x)^1 (-3)^2 = 54x$.
- Terme 4 : $1 \cdot (2x)^0 (-3)^3 = -27$.
- Résultat : $8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$.
Approximation
Problème : Estimer $(1,01)^5$ sans calculatrice.
Solution : ~1,05
- Réécrire comme $(1 + 0,01)^5$.
- Utiliser les deux premiers termes : $a^n + n a^{n-1}b$.
- $1^5 + 5(1)^4(0,01)$.
- $1 + 5(0,01) = 1 + 0,05 = 1,05$.
Erreurs Courantes
Le Rêve du Débutant (Freshman's Dream)
Penser que $(a+b)^n = a^n + b^n$. C'est faux. Vous DEVEZ inclure les termes du milieu.
Oublier les signes négatifs
Si l'expression est $(a - b)^n$, les signes alterneront entre positif et négatif dans le développement.
Applications réelles
Probabilité : Pile ou Face
Le Théorème du Binôme est la base de la Loi Binomiale. Si vous lancez une pièce $n$ fois, le nombre de façons d'obtenir exactement $k$ faces est donné par $\binom{n}{k}$.
Génétique
En génétique mendélienne, si deux parents hybrides (Aa) se croisent, la distribution des traits suit des probabilités binomiales.
Questions Fréquemment Posées
Qu'est-ce que "k parmi n" ?
C'est le nombre de façons de choisir $k$ éléments dans un ensemble de $n$, sans tenir compte de l'ordre. Formule : $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Cela fonctionne-t-il pour les puissances fractionnaires ?
Oui, mais cela produit une série infinie (Binôme de Newton Généralisé).