Suite Géométrique
Description
Une suite géométrique est une liste de nombres où chaque terme est trouvé en multipliant le terme précédent par une valeur constante appelée **raison ($r$)**.
La formule $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ vous permet de calculer n'importe quel terme de la suite sans trouver tous les précédents. * $a_1$ est le premier terme. * $r$ est le multiplicateur (raison). * $n-1$ est le nombre de multiplications appliquées au départ.
Histoire & Origines
Les progressions géométriques apparaissent dans certaines des plus anciennes histoires mathématiques. Le Problème de l'Échiquier : Une légende célèbre de l'Inde implique un sage qui demandait 1 grain de blé sur la première case, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, etc. C'est une suite géométrique avec $r=2$. Euclide (v. 300 av. J.-C.) : A discuté des progressions géométriques dans les Éléments, Livre IX.
Dérivation par Itération
Nous pouvons trouver le modèle en écrivant les termes étape par étape.
Terme 1 : $a_1$
Terme 2 : $a_2 = a_1 \cdot r$
Terme 3 : $a_3 = a_1 \cdot r^2$
Terme 4 : $a_4 = a_1 \cdot r^3$
Modèle : L'exposant de $r$ est toujours un de moins que le numéro du terme ($n$).
Formule générale : $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
aₙ | Le n-ième terme |
a₁ | Premier terme |
n | Position du terme |
r | Raison (Multiplicateur) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver le 5ème terme de 2, 6, 18, 54...
Solution :
Croissance Bactérienne
Problème : Une culture de bactéries commence avec 100 cellules et double chaque heure. Combien de bactéries au début de la 6ème heure ?
Solution : 3 200
- Suite : 100, 200, 400...
- Premier terme $a_1 = 100$. Raison $r = 2$.
- On cherche le 6ème terme ($n=6$).
- Formule : $a_6 = 100 \cdot 2^{6-1} = 100 \cdot 32 = 3 200$.
Dépréciation de Voiture
Problème : Une voiture coûte 20 000 €. Elle conserve 85% de sa valeur chaque année ($r=0,85$). Valeur l'année 5 ?
Solution : 10 440 €
- Début ($a_1$) : 20 000. Raison $r = 0,85$.
- Formule : $a_5 = 20 000 \cdot (0,85)^4$.
- Calcul : $20 000 \cdot 0,522 = 10 440$.
Erreurs Courantes
Utiliser n au lieu de n-1
Une erreur courante est de calculer $a_1 \cdot r^n$. Cela saute effectivement le premier terme.
Applications réelles
Finance : Intérêts Composés
Les intérêts composés sont une suite géométrique. Si vous investissez de l'argent à 5% d'intérêt, votre argent est multiplié par 1,05 chaque année.
Musique : Octaves
Les notes de musique suivent une progression géométrique. La fréquence d'un "La" est 440 Hz. Le "La" suivant (une octave plus haut) est 880 Hz ($r=2$).
Questions Fréquemment Posées
r peut-il être négatif ?
Oui. Cela crée une suite alternée où les signes changent (ex. 2, -4, 8...).