Suite Arithmétique
Description
Une suite arithmétique est une liste de nombres où la différence entre les termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée **raison ($d$)**.
La formule $a_n = a_1 + (n-1)d$ vous permet de trouver directement n'importe quel terme sans lister les précédents. * $a_1$ est le premier terme. * $d$ est la raison (pas). * $n-1$ est le nombre de pas depuis le début.
Histoire & Origines
Les progressions arithmétiques sont étudiées depuis des millénaires. Égypte Antique : Le Papyrus Rhind contient des problèmes de partage de pain en progression arithmétique. Babyloniens : Ils utilisaient ces suites pour l'astronomie.
Dérivation par Itération
On voit le modèle en écrivant les premiers termes.
Terme 1 : $a_1$
Terme 2 : $a_2 = a_1 + d$
Terme 3 : $a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$
Modèle : Le coefficient de $d$ est toujours un de moins que le numéro du terme ($n$).
Généralisation : $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
aₙ | Le n-ième terme |
a₁ | Premier terme |
n | Position du terme |
d | Raison (Différence commune) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver le 50ème terme de 3, 7, 11, 15...
Solution :
Tarif de Taxi
Problème : Un taxi facture 5€ de base plus 2€ par km. Coût pour 10 km ?
Solution : 25€
- Km 1 ($a_1$) coûte $5+2=7$.
- Raison $d=2$.
- Pour 10 km ($n=10$) : $a_{10} = 7 + 9(2) = 25$.
Dépréciation
Problème : Une machine est achetée 20 000 € et perd 1 500 € par an. Quelle est sa valeur après 8 ans ?
Solution : 8 000 €
- Valeur initiale (Année 0) : 20 000.
- Valeur Année 1 ($a_1$) : $20 000 - 1 500 = 18 500$.
- Raison $d = -1 500$.
- Valeur après 8 ans ($a_8$) : $a_8 = 18 500 + 7(-1 500) = 8 000$.
Erreurs Courantes
Utiliser n au lieu de n-1
L'erreur courante est d'écrire $a_n = a_1 + nd$. N'oubliez pas que vous faites zéro pas pour le premier terme.
Applications réelles
Informatique : Tableaux
Les adresses mémoire des tableaux sont calculées arithmétiquement. Si le premier élément est à l'adresse 1000 et que chaque élément fait 4 octets, le n-ième est à $1000 + (n-1)4$.
Finance : Intérêts Simples
Les intérêts simples croissent arithmétiquement. Si vous investissez de l'argent à un taux fixe (sans intérêts composés), votre solde augmente du même montant chaque année.
Questions Fréquemment Posées
d peut-il être négatif ?
Oui ! Si la suite est décroissante, la raison est négative.