Somme de Suite Arithmétique
Description
Une série arithmétique est la somme des termes d'une suite arithmétique. La formule $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ offre un raccourci pour additionner de longues listes de nombres sans les ajouter un par un.
L'intuition derrière la formule est simple : vous prenez la moyenne du premier et du dernier terme $\frac{a_1 + a_n}{2}$ et vous la multipliez par le nombre de termes ($n$). Alternativement, vous pouvez voir cela comme l'appariement du premier et du dernier nombre, du deuxième et de l'avant-dernier, etc. Chaque paire donne la même somme ($a_1 + a_n$).
Histoire & Origines
La formule est célèbrement associée à Carl Friedrich Gauss. La Légende de Gauss : On raconte que lorsque Gauss était écolier (vers 7 ou 10 ans), son professeur a demandé à la classe d'additionner les nombres de 1 à 100 pour les occuper. Alors que les autres élèves luttaient avec l'addition manuelle, Gauss a instantanément écrit "5050" sur son ardoise. Il a réalisé que $1+100=101$, $2+99=101$, etc. Comme il y a 50 paires, la somme est $50 \times 101 = 5050$. Aryabhata (476–550 apr. J.-C.) : Le mathématicien indien Aryabhata a également donné cette règle dans son traité Aryabhatiya.
Preuve par "Inversion et Addition"
Nous écrivons la somme à l'endroit et à l'envers, puis additionnons les deux équations.
Soit $S_n = a_1 + (a_1+d) + ... + (a_n-d) + a_n$.
Écrivez-la à l'envers : $S_n = a_n + (a_n-d) + ... + (a_1+d) + a_1$.
Additionnez les deux verticalement : $2S_n = (a_1+a_n) + (a_1+a_n) + ... + (a_1+a_n)$.
Remarquez que chaque paire verticale somme à $(a_1 + a_n)$.
Comme il y a $n$ termes, nous avons $n$ copies de $(a_1 + a_n)$.
Donc, $2S_n = n(a_1 + a_n)$.
Divisez par 2 : $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
Sₙ | Somme des n premiers termes |
n | Nombre de termes |
a₁ | Premier terme |
aₙ | n-ième (Dernier) terme |
d | Différence commune (optionnel) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Somme des entiers de 1 à 100.
Solution :
Pile de Tuyaux
Problème : Une pile de tuyaux a 20 tuyaux dans la rangée du bas, 19 dans la suivante, jusqu'à ce que la rangée du haut ait 5 tuyaux. Combien de tuyaux au total ?
Solution : 200 tuyaux
- Suite : 20, 19, ..., 5.
- Paramètres : $a_1 = 5$ (haut), $a_n = 20$ (bas).
- Nombre ($n$) : $(20 - 5) + 1 = 16$ rangées.
- Formule : $S_{16} = \frac{16}{2}(5 + 20)$.
- Calcul : $8(25) = 200$.
Épargne Salariale
Problème : Vous épargnez 1000€ la première année et augmentez votre épargne de 500€ chaque année. Combien avez-vous épargné après 10 ans ?
Solution : 32 500€
- Identifier : $a_1 = 1000$, $d = 500$, $n = 10$.
- Dernier terme : $a_{10} = 1000 + 9(500) = 5500$.
- Formule de somme : $S_{10} = \frac{10}{2}(1000 + 5500)$.
- Calcul : $5(6500) = 32 500$.
Erreurs Courantes
Confondre n avec an
$n$ est le *nombre* (ex. 50). $a_n$ est la *valeur* du dernier nombre.
L'utiliser pour les Suites Géométriques
Cette formule ne fonctionne que si la différence est constante (addition). Si les termes sont multipliés, utilisez la Série Géométrique.
Applications réelles
Sièges de Stade
Les architectes conçoivent souvent des stades où chaque rangée arrière a plus de sièges que celle de devant. Le calcul de la capacité totale implique la somme d'une série arithmétique.
Informatique : Analyse de Boucle
Lors de l'analyse de la complexité temporelle des algorithmes (Big O), les boucles impliquent souvent des sommes comme $1 + 2 + ... + n$. Cette somme est $n(n+1)/2$, ce qui est $O(n^2)$.
Questions Fréquemment Posées
Et si je ne connais pas le dernier terme ?
Vous pouvez combiner la formule de somme avec la formule de suite : $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$.