Règle de Puissance (Intégrale)
Description
La Règle de Puissance pour l'Intégration est l'opération inverse de la Règle de Puissance pour la Dérivation. Elle vous permet de trouver la primitive d'une fonction comme $x^2$, $x^5$ ou $\sqrt{x}$ avec un processus simple en deux étapes : 1. Ajoutez un à l'exposant. 2. Divisez par le nouvel exposant.
Vous devez également ajouter une **Constante d'Intégration ($+C$)** car la dérivée de toute constante est zéro, ce qui signifie que nous ne pouvons pas connaître la valeur constante d'origine juste à partir de la dérivée.
**Contrainte Importante :** Cette règle fonctionne pour tous les nombres réels $n$ *sauf* $n = -1$. Si $n = -1$ (c'est-à-dire $\frac{1}{x}$), la règle causerait une division par zéro. L'intégrale de $x^{-1}$ est un cas particulier : $\ln|x| + C$.
Histoire & Origines
La découverte des formules d'intégration précède la différenciation. Bonaventura Cavalieri (1635) : Mathématicien italien qui a utilisé sa "méthode des indivisibles" pour calculer l'aire sous les courbes $y=x^n$. Il a dérivé avec succès la règle pour les puissances entières jusqu'à $n=9$. John Wallis (1655) : Il a étendu les travaux de Cavalieri, proposant que la règle s'appliquait également aux exposants fractionnaires et négatifs.
Preuve par Différenciation
Le Théorème Fondamental du Calcul stipule que l'intégration et la différenciation sont des opérations inverses. Nous pouvons prouver la formule intégrale en dérivant le résultat.
Nous affirmons que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Pour le prouver, dérivons le côté droit : $\frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \right)$.
La dérivée de la constante $C$ est 0.
Appliquez la Règle de Puissance pour les Dérivées à $x^{n+1}$ : Descendez $(n+1)$ et soustrayez 1 de l'exposant.
$\frac{d}{dx} (x^{n+1}) = (n+1)x^{(n+1)-1} = (n+1)x^n$.
Multipliez par le facteur constant : $\frac{1}{n+1} \cdot (n+1)x^n$.
Les termes $(n+1)$ s'annulent, ne laissant que $x^n$.
Puisque la dérivée du résultat est égale à l'intégrant ($x^n$), la formule est correcte.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
n | Puissance/exposant (Tout réel sauf -1) |
x | Variable |
C | Constante d'Intégration |
∫ | Symbole d'intégrale |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Intégrer x³
Solution :
Exposants Fractionnaires (Racines)
Problème : Trouver $\int \sqrt{x} \, dx$.
Solution : $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$
- Réécrire le radical comme exposant : $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
- Identifier $n = 1/2$.
- Ajouter 1 à l'exposant : $1/2 + 1 = 3/2$.
- Diviser par le nouvel exposant : $\frac{x^{3/2}}{3/2}$.
- Simplifier : Diviser par $3/2$ revient à multiplier par $2/3$.
- Résultat : $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$.
Intégrale Définie (Aire)
Problème : Calculer $\int_0^2 x^2 \, dx$.
Solution : 8/3
- Trouver la primitive : $\frac{x^3}{3}$.
- Appliquer le Théorème Fondamental : $F(2) - F(0)$.
- Évaluer à 2 : $\frac{2^3}{3} = \frac{8}{3}$.
- Évaluer à 0 : $\frac{0^3}{3} = 0$.
- Soustraire : $\frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.
Erreurs Courantes
Oublier +C
Dans les intégrales indéfinies, vous devez ajouter $+C$. Si vous ne le faites pas, vous représentez seulement une courbe spécifique plutôt que toute la famille de solutions.
L'utiliser pour n = -1
Vous ne pouvez pas calculer $\int x^{-1} dx$ avec cette règle car vous diviseriez par zéro. L'intégrale correcte pour $\frac{1}{x}$ est $\ln|x| + C$.
Applications réelles
Physique : De la Vitesse à la Position
En physique, la vitesse est la dérivée de la position. Pour aller en arrière — trouver la position d'un objet étant donné sa fonction de vitesse — vous intégrez. Si $v(t) = 3t^2$, alors la position $x(t) = \int 3t^2 dt = t^3 + C$. La constante $C$ représente la position de départ.
Questions Fréquemment Posées
Qu'est-ce que C ?
C est la "Constante d'Intégration". Elle tient compte de toute valeur constante qui aurait pu se trouver dans la fonction d'origine, car la dérivation d'une constante donne zéro.