Règle de Puissance (Dérivée)
Description
La Règle de Puissance est l'une des premières et des plus importantes techniques que vous apprenez en calcul. Elle fournit un moyen rapide et facile de trouver la dérivée d'une fonction où la variable est élevée à une puissance constante, telle que $x^2$, $x^{10}$ ou même $x^{-3}$.
Avant de connaître cette règle, trouver une dérivée nécessite d'utiliser la définition formelle de limite, ce qui implique une algèbre complexe et une expansion binomiale. La Règle de Puissance contourne tout ce travail avec un processus simple en deux étapes : 1. Amenez l'exposant devant comme un multiplicateur. 2. Soustrayez un de l'exposant d'origine.
Cette règle fonctionne pour **tout** exposant réel $n$, y compris : * **Entiers Positifs :** $x^5 \to 5x^4$ * **Entiers Négatifs :** $x^{-2} \to -2x^{-3}$ * **Fractions (Racines) :** $\sqrt{x} = x^{1/2} \to \frac{1}{2}x^{-1/2}$ * **Décimaux/Irrationnels :** $x^{\pi} \to \pi x^{\pi-1}$
Histoire & Origines
Le développement de la Règle de Puissance est lié à la naissance du calcul à la fin du 17ème siècle. Isaac Newton (v. 1665) : Newton a découvert des modèles dans les dérivées de polynômes tout en développant sa "méthode des fluxions". Il a réalisé que le taux de changement de $x^n$ suivait un modèle prévisible basé sur l'expansion binomiale, lui permettant de calculer des vitesses et des accélérations sans sommations géométriques infinies. Gottfried Wilhelm Leibniz (années 1670) : Leibniz, travaillant indépendamment, a introduit la notation $d/dx$ que nous utilisons aujourd'hui. Il a prouvé la règle pour les exposants entiers en utilisant des différences finies et l'a étendue aux nombres rationnels. La preuve rigoureuse pour tout exposant réel (y compris les irrationnels) est venue beaucoup plus tard, nécessitant l'utilisation de la différenciation logarithmique et les définitions des fonctions exponentielles.
Preuve pour les Entiers Positifs (Utilisant les Limites)
Nous pouvons prouver la règle pour tout entier positif $n$ en utilisant la définition de la dérivée et le Théorème du Binôme.
Commencez par la définition de la dérivée : $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
Substituez $f(x) = x^n$ : $\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$
Développez $(x+h)^n$ en utilisant le Théorème du Binôme : $(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + ... + h^n$
Substituez à nouveau dans la limite : $\frac{(x^n + nx^{n-1}h + O(h^2)) - x^n}{h}$
Simplifiez : Les termes $x^n$ s'annulent : $\frac{nx^{n-1}h + O(h^2)}{h}$
Divisez par $h$ : $nx^{n-1} + O(h)$ (où $O(h)$ sont des termes contenant $h$)
Prenez la limite lorsque $h \to 0$ : Tous les termes avec $h$ disparaissent, ne laissant que $nx^{n-1}$.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
n | Puissance/exposant (Tout nombre réel) |
x | Variable (Base) |
d/dx | Opérateur dérivé (Taux de variation par rapport à x) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver d/dx(x⁵)
Solution :
Exposants Négatifs
Problème : Trouver la dérivée de $f(x) = \frac{1}{x^3}$
Solution : -3/x⁴
- Réécrire comme une puissance : $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$
- Identifier n : $n = -3$
- Appliquer la Règle de Puissance : Descendre -3, soustraire 1 de l'exposant.
- Calculer : $f'(x) = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$
- Réécrire sans exposants négatifs : $-\frac{3}{x^4}$
Exposants Fractionnaires (Racines)
Problème : Trouver la dérivée de $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$
Solution : 2/(3∛x)
- Convertir le radical en exposant : $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$
- Identifier n : $n = 2/3$
- Appliquer la Règle : $f'(x) = \frac{2}{3}x^{2/3 - 1}$
- Soustraire l'exposant : $2/3 - 1 = -1/3$
- Résultat : $\frac{2}{3}x^{-1/3}$
- Convertir à nouveau en radical : $\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
Géométrie : Pente de la Tangente
Problème : Trouver la pente de la ligne tangente à la courbe $y = x^4$ au point où $x = 2$.
Solution : m = 32
- Trouver la dérivée en utilisant la Règle de Puissance : $dy/dx = \frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$.
- La dérivée représente la pente à tout x.
- Substituer $x = 2$ dans la dérivée : $m = 4(2)^3$.
- Calculer : $m = 4(8) = 32$.
- La pente de la ligne tangente à x=2 est 32.
Erreurs Courantes
Additionner au lieu de soustraire
Rappelez-vous que l'exposant devient PLUS PETIT. $x^5$ devient $x^4$, pas $x^6$. (L'intégration ajoute à la puissance, la différenciation soustrait).
Gérer les constantes
La dérivée d'une constante (comme 5 ou $\pi$) est 0. Ne traitez pas $5$ comme $5x^0$ et n'essayez pas d'en faire $0x^{-1}$. Supprimez-le simplement.
Entiers négatifs
$-2 - 1 = -3$, pas $-1$. Donc la dérivée de $x^{-2}$ est $-2x^{-3}$, pas $-2x^{-1}$.
Applications réelles
Physique : Mouvement
La Règle de Puissance est essentielle pour convertir les fonctions de Position en Vitesse et Accélération. Si la position est $x(t) = t^3$, alors la vitesse est $v(t) = 3t^2$ et l'accélération est $a(t) = 6t$.
Économie : Analyse Marginale
Les économistes modélisent les coûts et les revenus comme des fonctions polynomiales. La Règle de Puissance aide à calculer le "Coût Marginal" (le coût de production d'une unité supplémentaire), qui est simplement la dérivée de la fonction de coût.
Questions Fréquemment Posées
Est-ce que cela fonctionne pour des équations comme $2^x$ ?
Non ! La Règle de Puissance ne fonctionne que lorsque la base est la variable ($x^n$). Si la variable est dans l'exposant ($2^x$), vous devez utiliser les règles des Fonctions Exponentielles.
Et si n = 0 ?
Si $n=0$, alors $f(x) = x^0 = 1$. La dérivée de la constante 1 est 0. La formule donne $0x^{-1} = 0$, donc cela fonctionne toujours !