Règle de la Chaîne
Description
La Règle de la Chaîne (ou théorème de dérivation des fonctions composées) est l'outil fondamental pour différencier les fonctions composées, c'est-à-dire des fonctions à l'intérieur d'autres fonctions, comme $\sin(x^2)$ ou $(2x+1)^5$. Elle stipule que la dérivée d'une fonction composée est la dérivée de la fonction externe multipliée par la dérivée de la fonction interne.
Un moyen mnémotechnique courant est **"dérivée de l'extérieur fois dérivée de l'intérieur"**.
**Analogie Intuitive (Engrenages) :** Imaginez trois engrenages connectés. Si l'engrenage A fait tourner l'engrenage B deux fois plus vite ($dy/du=2$), et que l'engrenage B fait tourner l'engrenage C trois fois plus vite ($du/dx=3$), alors l'engrenage A fait tourner l'engrenage C $2 \times 3 = 6$ fois plus vite. Vous multipliez simplement les taux.
En notation de Leibniz, si $y = f(u)$ et $u = g(x)$, alors : $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
Cette notation est incroyablement intuitive car on dirait que les fractions "annulent" les termes $du$, bien que les dérivées ne soient pas techniquement des fractions. La règle de la chaîne nous permet d'éplucher les couches de fonctions complexes comme un oignon, en résolvant une couche à la fois.
Histoire & Origines
La règle de la chaîne est l'une des plus anciennes règles du calcul, étroitement liée à son invention. Gottfried Wilhelm Leibniz (1676) : Leibniz a découvert la règle spécifiquement pour traiter les fonctions algébriques de la forme $\sqrt{a + bz + cz^2}$. Guillaume de l'Hôpital (1696) : Il a inclus la règle dans son manuel Analyse des Infiniment Petits, le premier manuel sur le calcul différentiel.
Preuve utilisant les Limites
Nous utilisons la définition de la limite de la dérivée pour la fonction composée $f(g(x))$.
Soit $y = f(g(x))$. Nous voulons trouver $\lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}$.
Multipliez et divisez par $[g(x+h) - g(x)]$ : $\lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)} \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$.
Le premier terme est la dérivée de la fonction externe $f'(g(x))$.
Le second terme est la dérivée de la fonction interne $g'(x)$.
Résultat : $f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
f(u) | Fonction externe |
g(x) | Fonction interne (u) |
f' | Dérivée de la fonction externe |
g' | Dérivée de la fonction interne |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver la dérivée de y = (3x² + 1)⁵
Solution :
Puissance d'un Polynôme
Problème : Dériver $h(x) = (3x^2 + 1)^5$.
Solution : $30x(3x^2 + 1)^4$
- Identifier Interne et Externe : Interne $u = 3x^2 + 1$. Externe $y = u^5$.
- Dériver Externe : $\frac{dy}{du} = 5u^4 = 5(3x^2 + 1)^4$.
- Dériver Interne : $\frac{du}{dx} = 6x$.
- Multiplier : $5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x$.
- Simplifier : $30x(3x^2 + 1)^4$.
Fonction Trigonométrique
Problème : Dériver $y = \cos(e^x)$.
Solution : $-e^x \sin(e^x)$
- Identifier fonctions : Externe est $\cos(u)$, Interne est $u = e^x$.
- Dérivée de l'Externe : $\frac{d}{du}(\cos(u)) = -\sin(u)$.
- Dérivée de l'Interne : $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$.
- Appliquer la Règle : $-\sin(e^x) \cdot e^x$.
- Résultat : $-e^x \sin(e^x)$.
Erreurs Courantes
Oublier la dérivée interne
L'erreur la plus courante est de dériver l'extérieur mais d'oublier de multiplier par $g'(x)$. Pour $(2x)^3$, obtenir $3(2x)^2$ est faux. Ce doit être $3(2x)^2 \cdot 2 = 6(2x)^2$.
Applications réelles
Intelligence Artificielle : Backpropagation
C'est sans doute l'application la plus importante du monde moderne. Les réseaux de neurones "apprennent" en ajustant les poids pour minimiser les erreurs. L'algorithme de **Backpropagation** calcule le gradient de la fonction de perte par rapport à chaque poids du réseau. C'est essentiellement l'application répétée de la Règle de la Chaîne de la sortie vers l'entrée.
Physique : Effet Doppler
Lors du calcul des taux de changement où les dépendances sont imbriquées (par exemple, comment la fréquence perçue du son change lorsqu'une voiture se déplace, où la position dépend du temps), la règle de la chaîne permet aux physiciens de relier ces taux entre eux.
Questions Fréquemment Posées
Puis-je l'utiliser pour 3 fonctions ?
Oui ! Pour $f(g(h(x)))$, vous l'épluchez comme un oignon : $f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$. Continuez simplement à multiplier par la dérivée de la couche interne suivante.