Identité Pythagoricienne
Description
L'Identité Pythagoricienne est l'équation la plus importante en trigonométrie. Elle fait le pont entre la géométrie (le Théorème de Pythagore) et la trigonométrie (sinus et cosinus).
Elle stipule que pour *tout* angle $\theta$, le carré du sinus de cet angle plus le carré du cosinus de cet angle est toujours égal exactement à 1.
Cette identité est dérivée directement du Cercle Unité, où tout point $(x, y)$ sur le cercle satisfait l'équation $x^2 + y^2 = 1$. Puisque $x = \cos(\theta)$ et $y = \sin(\theta)$, il s'ensuit directement que $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$.
Histoire & Origines
Bien que le théorème pour les triangles porte le nom de Pythagore (v. 570 av. J.-C.), la forme trigonométrique a été développée bien plus tard. Claude Ptolémée (v. 100 apr. J.-C.) : Dans son Almageste, il utilisait des tables de cordes qui reposaient implicitement sur cette relation. Mathématiciens Indiens (v. 500 apr. J.-C.) : Aryabhata a utilisé explicitement la relation $\sin^2 + \cos^2 = 1$ pour des calculs astronomiques.
Preuve utilisant le Cercle Unité
Nous dérivons l'identité directement de la définition du cercle unité.
Considérez un Cercle Unité centré à l'origine $(0,0)$ avec un rayon $r=1$.
L'équation de ce cercle est $x^2 + y^2 = 1$.
Tracez un angle $\theta$. Le côté terminal coupe le cercle au point $P(x,y)$.
Par définition du sinus et du cosinus : $x = \cos(\theta)$ et $y = \sin(\theta)$.
Substituez dans l'équation du cercle : $(\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2 = 1$.
Cela se simplifie en : $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
θ | Angle (tout nombre réel) |
sin²θ | Carré du sinus de l'angle |
cos²θ | Carré du cosinus de l'angle |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Vérifier pour θ = 30°
Solution :
Trouver une Valeur Manquante
Problème : Si $\sin(\theta) = \frac{3}{5}$ et $\theta$ est dans le premier quadrant, trouver $\cos(\theta)$.
Solution : 4/5
- Identité : $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$.
- Substituer : $(\frac{3}{5})^2 + \cos^2(\theta) = 1$.
- Mettre au carré : $\frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1$.
- Soustraire : $\cos^2(\theta) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
- Racine Carrée : $\cos(\theta) = \pm \frac{4}{5}$.
- Comme c'est dans le Quadrant I, le cosinus est positif : $\frac{4}{5}$.
Simplifier des Expressions
Problème : Simplifier $5 - 5\sin^2(x)$.
Solution : $5\cos^2(x)$
- Factoriser 5 : $5(1 - \sin^2(x))$.
- Réorganiser l'identité : $1 - \sin^2 = \cos^2$.
- Substituer : $5(\cos^2(x))$.
Erreurs Courantes
Penser que sin(x) + cos(x) = 1
C'est faux. L'identité s'applique aux **carrés**.
Applications réelles
Génie Électrique
Dans les circuits CA, la relation entre Puissance Active (P), Réactive (Q) et Apparente (S) forme un "Triangle de Puissance" régi par cette identité ($S^2 = P^2 + Q^2$).
Physique : Énergie
Dans un système oscillant, l'énergie cinétique et potentielle se transforment constamment l'une en l'autre, mais l'énergie totale reste constante, reflétant $\sin^2 + \cos^2 = 1$.
Questions Fréquemment Posées
Pourquoi écrit-on sin²θ ?
C'est une convention pour éviter l'ambiguïté. $\sin \theta^2$ pourrait signifier que l'on met l'angle au carré.