Formule Quadratique
Description
La formule quadratique est l'un des outils les plus puissants de l'algèbre, fournissant une "clé passe-partout" pour résoudre toute équation polynomiale de degré 2 (une équation quadratique). Contrairement à la factorisation, qui repose sur des essais et erreurs et ne fonctionne que pour des racines entières simples, la formule quadratique fonctionne 100% du temps, que les solutions soient des nombres entiers, des fractions, des nombres irrationnels ou même des nombres imaginaires.
Géométriquement, une équation quadratique représente une parabole. Les "racines" ou "solutions" calculées par cette formule sont simplement les points où la parabole croise l'axe des x (interceptions x). Le terme à l'intérieur de la racine carrée, $b^2 - 4ac$, est appelé le **Discriminant**. Il vous indique la nature des solutions : * Si positif : Deux solutions réelles distinctes. * Si zéro : Une solution réelle (le sommet est sur l'axe des x). * Si négatif : Deux solutions complexes (imaginaires).
Histoire & Origines
La quête pour résoudre les équations quadratiques remonte à près de 4000 ans. Babyloniens (v. 2000 av. J.-C.) : Ils pouvaient résoudre des problèmes spécifiques que nous appellerions aujourd'hui des équations quadratiques, en utilisant une méthode géométrique de "complétion du carré" énoncée en mots, mais ils n'avaient pas de formule algébrique générale. Grèce Antique (v. 300 av. J.-C.) : Euclide a découvert une approche géométrique pour trouver des longueurs satisfaisant des problèmes quadratiques, bien qu'il n'ait pas utilisé l'algèbre telle que nous la connaissons. Brahmagupta (628 apr. J.-C.) : Le mathématicien indien Brahmagupta a été le premier à fournir une solution explicite et générale dans son livre Brahmasphutasiddhanta. Il n'utilisait pas la notation moderne, mais sa recette verbale est équivalente à la formule que nous utilisons aujourd'hui. Simon Stevin (1585) : Ce n'est qu'à la Renaissance européenne que la notation standardisée a fait ressembler la formule à la version $x = ...$ que nous mémorisons à l'école.
Dérivation par Complétion du Carré
La formule vient directement de la résolution de l'équation générale $ax^2 + bx + c = 0$ en utilisant la méthode de la complétion du carré.
Commencez par la forme standard : $ax^2 + bx + c = 0$
Divisez tout par $a$ pour isoler $x^2$ : $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
Déplacez le terme constant vers la droite : $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
Complétez le carré : Ajoutez $(\frac{b}{2a})^2$ des deux côtés. Cela fait du côté gauche un carré parfait.
Factorisez le côté gauche : $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$
Trouvez un dénominateur commun à droite : $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
Prenez la racine carrée des deux côtés : $x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Isolez $x$ en soustrayant $\frac{b}{2a}$ : $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
a | Coefficient de x² (Terme quadratique, ne peut pas être 0) |
b | Coefficient de x (Terme linéaire) |
c | Terme constant (Interception y) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Résoudre 2x² + 5x - 3 = 0
Solution :
Physique : Mouvement de Projectile
Problème : Une balle est lancée vers le haut. Sa hauteur h en mètres après t secondes est $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Quand touche-t-elle le sol (h=0) ?
Solution : ~4,1 secondes
- Identifiez les coefficients de $-5t^2 + 20t + 2 = 0$ : a=-5, b=20, c=2.
- Insérez dans la formule : $t = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4(-5)(2)}}{2(-5)}$
- Simplifiez le discriminant : $400 - (-40) = 440$.
- Résolvez : $t = \frac{-20 \pm \sqrt{440}}{-10}$
- Calculez : $\sqrt{440} \approx 20,98$
- Deux cas : $t = (-20 - 20,98)/-10 \approx 4,1$ et $t = (-20 + 20,98)/-10 \approx -0,1$.
- Rejetez le temps négatif. La balle touche le sol à t ≈ 4,1 secondes.
Racines Complexes (Nombres Imaginaires)
Problème : Résoudre $x^2 + 4x + 5 = 0$
Solution : -2 ± i
- Identifiez : a=1, b=4, c=5.
- Discriminant : $b^2 - 4ac = 16 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$.
- Puisque le discriminant est négatif, il n'y a pas de racines réelles.
- La racine carrée de -4 est $2i$.
- Formule : $x = \frac{-4 \pm 2i}{2}$
- Simplifiez : $x = -2 \pm i$.
Erreurs Courantes
Mauvais signe pour -b
Si b est négatif (ex. -5), alors -b devient positif (+5). Une erreur fréquente est d'écrire le mauvais signe.
Diviser seulement la première partie par 2a
La barre de fraction va sous TOUT le numérateur, pas seulement la partie racine. Correct : $\frac{A+B}{C}$. Incorrect : $A + \frac{B}{C}$.
Oublier le ±
Les équations quadratiques ont généralement deux réponses. Oublier le "plus ou moins" signifie que vous perdez la moitié de votre solution.
Applications réelles
Balistique & Sports
Tout objet lancé ou tiré sous gravité suit un arc parabolique. La formule quadratique calcule exactement combien de temps l'objet reste en l'air et où il atterrira.
Économie & Maximisation du Profit
Le profit suit généralement une courbe : il augmente avec le prix jusqu'à un certain point, puis diminue car moins de gens achètent. Trouver le sommet ou les racines aide les entreprises à fixer des prix optimaux.
Architecture & Ingénierie
Utilisation de formes paraboliques dans les ponts suspendus et les antennes paraboliques. Les ingénieurs utilisent des équations quadratiques pour calculer les charges de contrainte.
Questions Fréquemment Posées
Pourquoi s'appelle-t-elle "Quadratique" si quad signifie 4 ?
Cela vient du mot latin "quadratus" (carré), car la plus haute puissance est au carré ($x^2$). Cela fait référence aux 4 côtés d'un carré.
Quand dois-je utiliser la factorisation à la place ?
Si les nombres sont petits et entiers simples (comme $x^2 + 5x + 6$), la factorisation est plus rapide. Utilisez la formule pour les nombres complexes ou les décimales.