Formule de la Pente
Description
La pente (souvent notée *m*) est une mesure de l'inclinaison et de la direction d'une ligne. En termes simples, elle vous indique à quelle vitesse $y$ change pour chaque unité que $x$ avance. Ce concept est le cœur du calcul, où il évolue vers la "dérivée".
L'idée principale est **"Montée sur Course"** (Rise over Run) : * **Montée ($y_2 - y_1$) :** De combien la ligne monte ou descend. * **Course ($x_2 - x_1$) :** De combien la ligne se déplace latéralement.
Interprétation de la valeur : * **Pente positive :** La ligne MONTE de gauche à droite. * **Pente négative :** La ligne DESCEND de gauche à droite. * **Pente nulle :** Une ligne parfaitement horizontale (plate). * **Pente indéfinie :** Une ligne parfaitement verticale (division par zéro).
Histoire & Origines
Le concept de pente est intrinsèquement lié au plan de coordonnées. René Descartes (1637) : Alors que les anciens Grecs comprenaient les rapports des côtés dans les triangles, c'est le mathématicien français René Descartes qui a superposé la géométrie à l'algèbre (coordonnées cartésiennes), nous permettant de quantifier la "direction" par un nombre. Gottfried Wilhelm Leibniz (années 1600) : Leibniz et Newton ont plus tard affiné cela en le concept de dérivée — la pente d'une courbe en un point unique et infinitésimal — ce qui a déclenché la révolution du calcul. Pourquoi 'm' ? Personne n'est sûr à 100% pourquoi nous utilisons la lettre m pour la pente. Certaines théories suggèrent que cela vient du mot français "monter", mais les preuves historiques ne sont pas concluantes.
Dérivation Géométrique (Triangles Semblables)
En utilisant des points distincts sur une ligne, nous pouvons former des triangles rectangles qui prouvent que le rapport du changement vertical au changement horizontal est constant.
Tracez une ligne sur un graphique.
Choisissez deux points, $P_1(x_1, y_1)$ et $P_2(x_2, y_2)$.
Tracez une ligne horizontale depuis $P_1$ et une ligne verticale depuis $P_2$ pour qu'elles se rencontrent à angle droit.
Le côté vertical de ce triangle est le changement en y : $\Delta y = y_2 - y_1$.
Le côté horizontal est le changement en x : $\Delta x = x_2 - x_1$.
Le rapport de ces côtés $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ définit l'inclinaison.
Parce que tout triangle tracé sous la même ligne droite est un "triangle semblable", ce rapport est constant partout sur la ligne.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
m | Pente (Gradient) |
y₂ - y₁ | Montée (Changement Vertical) |
x₂ - x₁ | Course (Changement Horizontal) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver la pente entre (2, 3) et (5, 9)
Solution :
Pentes de Route (Inclinaison)
Problème : Une route de montagne a une "Pente de 6%". Si vous conduisez 1000 mètres horizontalement, de combien de mètres montez-vous ?
Solution : 60 mètres
- Comprendre le Pourcentage de Pente : Une pente de 6% signifie $m = 0,06$ (ou $\frac{6}{100}$).
- Formule : $m = \frac{\text{Montée}}{\text{Course}}$.
- Substituer : $0,06 = \frac{\text{Montée}}{1000}$.
- Résoudre : $\text{Montée} = 0,06 \times 1000 = 60$ mètres.
- Pour chaque 1000 mètres parcourus, vous montez de 60 mètres.
Économie : Coût Marginal
Problème : Il en coûte 500 € à une usine pour produire 100 articles et 900 € pour en produire 300. Quelle est la "pente" (coût marginal) par article ?
Solution : 2 € par article
- Identifier les points : $(x_1, y_1) = (100, 500)$ et $(x_2, y_2) = (300, 900)$.
- Calculer la Montée (Changement de coût) : $900 - 500 = 400$.
- Calculer la Course (Changement de quantité) : $300 - 100 = 200$.
- Formule de pente : $m = \frac{400}{200} = 2$.
- Interprétation : Cela coûte 2 € pour chaque article supplémentaire produit.
Erreurs Courantes
Confondre l'ordre
Si vous commencez par $y_2$ en haut, vous DEVEZ commencer par $x_2$ en bas. Formule : $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Incorrect : $\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$.
Course sur Montée
Rappelez-vous "Montée sur Course" (y sur x). Une erreur courante est de mettre x en haut ($\frac{\Delta x}{\Delta y}$).
Zéro vs Indéfini
Une pente nulle est une route plate. Une pente indéfinie est une falaise verticale. La division par zéro est indéfinie.
Applications réelles
Toiture & Construction
Les constructeurs utilisent le "pitch" pour décrire l'inclinaison du toit (ex. monter de 4 pouces pour 12 de large). C'est exactement le concept de pente.
Physique : Vitesse
Sur un graphique Position vs Temps, la pente de la ligne représente la **Vitesse**. Plus la ligne est raide, plus l'objet se déplace rapidement.
Questions Fréquemment Posées
Que signifie une pente négative ?
Cela signifie que la relation est inverse. À mesure que x augmente, y diminue. Pensez à descendre une colline.
La pente est-elle la même chose que l'angle ?
Lié, mais pas identique. La pente est $\tan(\text{angle})$. Une pente de 1 signifie un angle de 45 degrés.