Moyenne Arithmétique
Description
La Moyenne Arithmétique, communément appelée simplement "moyenne", est la mesure la plus fondamentale de la tendance centrale en statistiques et en mathématiques. Elle représente le "point d'équilibre" théorique ou le centre de gravité d'un ensemble de données. Si vous deviez placer des poids sur un levier sans poids correspondant à la valeur de chaque point de données, le point d'appui devrait être placé exactement à la moyenne pour équilibrer la poutre.
Mathématiquement, elle est définie comme la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs. Bien qu'intuitive et facile à calculer, la moyenne a une caractéristique spécifique : elle est sensible aux valeurs aberrantes extrêmes. Par exemple, si dix personnes dans une pièce gagnent 50k €, et qu'un milliardaire entre en gagnant 1M €, le revenu moyen sera fortement biaisé vers le haut, ne reflétant peut-être pas la personne "typique" (pour laquelle la Médiane pourrait être une meilleure mesure).
La moyenne est notée $\bar{x}$ (lu "x-barre") lorsqu'elle fait référence à un échantillon de données, et par la lettre grecque $\mu$ (mu) lorsqu'elle fait référence à une population entière.
Histoire & Origines
Le concept de la "moyenne" ou du "milieu" a été étudié depuis l'antiquité. Pythagoriciens (v. 500 av. J.-C.) : Le mathématicien grec Archytas de Tarente, contemporain de Platon, a distingué trois types de moyennes : la Moyenne Arithmétique, la Moyenne Géométrique et la Moyenne Harmonique. Pour les Pythagoriciens, ces rapports étaient liés à la théorie musicale et à l'harmonie de l'univers. Adolphe Quetelet (19ème Siècle) : Un statisticien belge qui a introduit le concept de l'"Homme Moyen" (l'homme moyen), appliquant la moyenne arithmétique aux caractéristiques physiques et sociales humaines, posant les bases de la sociologie moderne.
Preuve : La Somme des Écarts est Zéro
Une propriété clé de la moyenne est que la somme des distances (écarts) de tous les points de données par rapport à la moyenne est toujours nulle. Cela confirme qu'elle est le centre de gravité.
Soit l'écart d'un point $x_i$ par rapport à la moyenne $\bar{x}$ noté $d_i = x_i - \bar{x}$.
Nous voulons trouver la somme de tous les écarts : $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})$.
Distribuez la sommation : $\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}$.
Puisque $\bar{x}$ est une constante (elle ne change pas avec i), $\sum_{i=1}^{n} \bar{x} = n\bar{x}$.
Donc l'expression devient : $\sum_{i=1}^{n} x_i - n\bar{x}$.
Rappelez-vous la définition de la moyenne : $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$. Multipliez les deux côtés par n pour obtenir $\sum x_i = n\bar{x}$.
Substituez $n\bar{x}$ pour $\sum x_i$: $n\bar{x} - n\bar{x} = 0$.
Conclusion : La somme des écarts par rapport à la moyenne est toujours nulle.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
x̄ | Moyenne de l'échantillon (lu "x-barre") |
μ | Moyenne de la population (lu "mu") |
n | Nombre de valeurs (compte) |
Σ | Sommation (Sigma) - additionnez tout |
xᵢ | Valeurs individuelles dans l'ensemble de données |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver la moyenne des scores : 70, 80, 80, 90, 100
Solution :
Moyenne Scolaire (GPA)
Problème : Un étudiant a les notes suivantes : Maths (95), Histoire (85), Sciences (70), Art (90). Quelle est la note moyenne ?
Solution : 85
- Listez les valeurs : $x_1=95, x_2=85, x_3=70, x_4=90$.
- Comptez les éléments : $n = 4$.
- Calculez la Somme ($\Sigma x$) : $95 + 85 + 70 + 90 = 340$.
- Divisez par n : $\bar{x} = 340 / 4$.
- Résultat : 85.
Sports : Points Par Match
Problème : Un joueur de basket marque 12, 25, 18 et 15 points en 4 matchs. Quelle est sa moyenne de points ?
Solution : 17,5 PPM
- Somme : $12 + 25 + 18 + 15 = 70$.
- Compte : 4 matchs.
- Moyenne : $70 / 4 = 17,5$.
- Le joueur a une moyenne de 17,5 points par match.
Erreurs Courantes
Confondre Moyenne et Médiane
La Moyenne est la somme divisée par le nombre. La Médiane est le nombre du milieu une fois trié. Elles sont différentes, surtout s'il y a des valeurs aberrantes.
Moyenne des Moyennes
Si la Classe A a 10 étudiants avec une moyenne de 90, et la Classe B a 100 étudiants avec une moyenne de 80, vous ne pouvez pas simplement dire (90+80)/2 = 85. Vous devez utiliser une "Moyenne Pondérée" basée sur la taille de la classe.
Applications réelles
Finance & Économie
La moyenne est utilisée pour calculer les rendements boursiers dans le temps ou la "Moyenne Mobile" pour lisser les fluctuations de prix. En économie, le PIB par habitant est la moyenne arithmétique de la production économique totale d'un pays divisée par sa population.
Traitement du Signal
En électronique, le "décalage DC" d'un signal est essentiellement sa tension moyenne. Les ingénieurs calculent souvent la moyenne pour supprimer la composante DC et se concentrer sur la composante AC (fluctuations).
Questions Fréquemment Posées
Quand dois-je utiliser la Médiane au lieu de la Moyenne ?
Utilisez la Médiane lorsque vos données ont des valeurs aberrantes extrêmes (comme les prix des maisons ou les salaires), car la Moyenne peut être faussée par des valeurs très hautes ou basses.
Quelle est la différence entre x-barre et mu ?
$\bar{x}$ est pour un ÉCHANTILLON (une partie des données). $\mu$ est pour la POPULATION (toutes les données possibles). Le calcul est le même, mais la notation indique la portée.