Formule de Héron
Description
La Formule de Héron est un théorème majeur en géométrie qui vous permet de calculer l'aire d'un triangle en connaissant *seulement* les longueurs de ses trois côtés ($a, b, c$). Contrairement à la formule standard $A = \frac{1}{2}bh$, vous n'avez pas besoin de calculer la hauteur verticale ni de mesurer des angles.
La clé de la formule est le **Demi-périmètre ($s$)**, qui est la moitié du périmètre total du triangle : $$s = \frac{a + b + c}{2}$$
Cette formule fonctionne pour tout type de triangle : équilatéral, isocèle ou scalène. Elle est particulièrement utile dans l'arpentage où mesurer les longueurs des côtés est plus facile que d'établir une hauteur perpendiculaire.
Histoire & Origines
La formule porte le nom de Héron d'Alexandrie (v. 10 – 70 apr. J.-C.), un ingénieur et mathématicien grec qui l'a prouvée dans son livre Metrica. Cependant, de nombreux historiens pensent que la formule était connue bien plus tôt par Archimède (v. 250 av. J.-C.). Comme le livre de Héron était une compilation de connaissances mathématiques, il a probablement préservé les travaux d'Archimède. Fait intéressant, une formule similaire pour l'aire d'un quadrilatère cyclique (Formule de Brahmagupta) a été découverte par des mathématiciens indiens au 7ème siècle, dont la formule de Héron est un cas particulier.
Preuve Algébrique utilisant la Trigonométrie
Nous dérivons cela en combinant la formule standard de l'aire avec la Loi des Cosinus.
Commencez par l'Aire : $Aire = \frac{1}{2}ab \sin C$.
Mettez au carré : $Aire^2 = \frac{1}{4}a^2b^2 \sin^2 C$.
Utilisez l'Identité Pythagoricienne : $\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = (1-\cos C)(1+\cos C)$.
Substituez la Loi des Cosinus pour $\cos C$ : $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
Substituez cela dans l'équation de l'aire. Après simplification, les termes se factorisent.
L'expression se simplifie en $\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$.
En substituant $s = (a+b+c)/2$, cela devient $s(s-a)(s-b)(s-c)$.
Prenez la racine carrée pour obtenir la Formule de Héron.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
A | Aire |
a, b, c | Longueurs des trois côtés |
s | Demi-périmètre (moitié du périmètre) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver l'aire d'un triangle avec côtés 3, 4, 5
Solution :
Arpentage
Problème : Une parcelle de terrain triangulaire a des côtés de 30m, 40m et 50m. Quelle est son aire ?
Solution : 600 m²
- Calculer le Demi-périmètre : $s = \frac{30+40+50}{2} = \frac{120}{2} = 60$ m.
- Calculer les différences : $(s-a) = 30$, $(s-b) = 20$, $(s-c) = 10$.
- Appliquer la Formule : $A = \sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10}$.
- Multiplier : $60 \times 30 = 1800$. $20 \times 10 = 200$. $1800 \times 200 = 360 000$.
- Racine Carrée : $\sqrt{360 000} = 600$.
Triangle Équilatéral
Problème : Trouver l'aire d'un triangle équilatéral de côté 6.
Solution : 15,59
- Côtés : $a=6, b=6, c=6$.
- Demi-périmètre : $s = \frac{18}{2} = 9$.
- Formule : $A = \sqrt{9(9-6)(9-6)(9-6)} = \sqrt{9(3)(3)(3)}$.
- Calculer : $\sqrt{243} \approx 15,588$.
Erreurs Courantes
Oublier de diviser le périmètre par 2
Rappelez-vous que $s$ est le **Demi**-périmètre. Si vous utilisez le périmètre complet, le nombre sous la racine carrée sera énorme et incorrect.
Violer l'Inégalité Triangulaire
Si la somme de deux côtés est inférieure au troisième (ex. côtés 1, 2, 10), le triangle ne peut pas exister. Dans la formule de Héron, cela donne un nombre négatif sous la racine.
Applications réelles
Infographie 3D
En modélisation 3D, les objets sont des maillages de milliers de triangles. Pour calculer les propriétés de surface, l'ordinateur a besoin de l'aire de ces triangles. Puisque l'ordinateur connaît les coordonnées 3D $(x,y,z)$ des sommets, il calcule d'abord les longueurs des côtés puis utilise la formule de Héron pour trouver l'aire sans avoir besoin de calculer une "hauteur".
GPS et Géodésie
Lors de la mesure de grandes zones triangulaires sur la surface de la Terre, les arpenteurs mesurent les distances entre trois points (côtés). La formule de Héron est le moyen standard de convertir ces mesures de distance en aire.
Questions Fréquemment Posées
Puis-je l'utiliser si je connais la hauteur ?
Vous pouvez, mais la formule standard $A = \frac{1}{2}bh$ est beaucoup plus rapide. Héron est meilleur quand la hauteur est inconnue.
Que se passe-t-il si s-a est négatif ?
Cela signifie que votre triangle est impossible ! Un côté ($a$) ne peut pas être plus long que la somme des deux autres.