Formule de Distance
Description
La Formule de Distance est une application directe du Théorème de Pythagore utilisée pour trouver la distance en ligne droite entre deux points quelconques dans un système de coordonnées cartésien. Elle nous permet de mesurer "à quelle distance" se trouvent deux emplacements l'un de l'autre, même si le chemin est en diagonale.
La formule est dérivée en créant un triangle rectangle où : * La **jambe horizontale** est le changement en x ($x_2 - x_1$). * La **jambe verticale** est le changement en y ($y_2 - y_1$). * L'**hypoténuse** est la distance $d$ entre les points.
Ce concept est fondamental non seulement en cours de mathématiques, mais aussi en informatique (détection de collision dans les jeux), en navigation (GPS) et en physique. Bien que cette formule spécifique mesure la "distance euclidienne" (ligne droite), d'autres métriques comme la "distance de Manhattan" (chemins en forme de grille) existent pour différents contextes.
Histoire & Origines
La capacité de calculer des distances diagonales est liée à l'histoire du Théorème de Pythagore. Pythagore (v. 570 av. J.-C.) : Le principe sous-jacent ($a^2 + b^2 = c^2$) était connu des Babyloniens et des Indiens bien avant, mais les Grecs l'ont formalisé comme une vérité géométrique. René Descartes (1637) : La forme algébrique spécifique que nous utilisons aujourd'hui—utilisant des coordonnées $(x,y)$—a été rendue possible par l'invention de la géométrie analytique par Descartes. En fusionnant l'algèbre avec la géométrie, il a permis de calculer des distances purement à partir de coordonnées numériques plutôt que par mesure physique.
Dérivation utilisant le Théorème de Pythagore
Nous pouvons construire un triangle rectangle entre deux points quelconques pour trouver l'hypoténuse.
Soit les deux points $P_1(x_1, y_1)$ et $P_2(x_2, y_2)$.
Dessinez une ligne horizontale depuis $P_1$ et une ligne verticale depuis $P_2$. Elles se rencontrent à un point $C(x_2, y_1)$.
La distance du côté horizontal (jambe a) est $|x_2 - x_1|$.
La distance du côté vertical (jambe b) est $|y_2 - y_1|$.
Par le Théorème de Pythagore ($a^2 + b^2 = c^2$), la distance au carré est $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Prenez la racine carrée des deux côtés pour obtenir $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
d | Distance |
(x₁, y₁) | Coordonnées du premier point |
(x₂, y₂) | Coordonnées du deuxième point |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver la distance entre (1, 2) et (4, 6)
Solution :
Déterminer le Rayon
Problème : Un cercle a son centre en (0, 0) et passe par le point (3, 4). Quel est le rayon ?
Solution : 5
- Identifier les points : Centre $(x_1, y_1) = (0, 0)$, Bord $(x_2, y_2) = (3, 4)$.
- Substituer dans la formule : $r = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2}$.
- Simplifier : $r = \sqrt{3^2 + 4^2}$.
- Calculer : $r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$.
- Résultat : Rayon = 5.
Collision dans un Jeu Vidéo
Problème : Un joueur est à (10, 10) avec un rayon de collision de 2. Un ennemi est à (12, 10). Entrent-ils en collision ?
Solution : Oui
- Calculer la distance : $d = \sqrt{(12-10)^2 + (10-10)^2}$.
- Simplifier : $d = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
- Comparer au rayon : La distance (2) est exactement égale au rayon de collision.
- Conclusion : Ils se touchent (entrent en collision).
Erreurs Courantes
Soustraire dans le mauvais ordre
Bien que $(x_2-x_1)^2$ soit la même chose que $(x_1-x_2)^2$, c'est une bonne pratique d'être cohérent. Cependant, faites attention à ne pas mélanger x et y : $(x_2 - y_1)$ est incorrect.
Oublier d'élever au carré
Une erreur courante est d'écrire $\sqrt{(x_2-x_1) + (y_2-y_1)}$. Vous DEVEZ élever les différences au carré avant de les additionner.
Soustraire les Carrés
La formule est $a^2 + b^2$. Ne les soustrayez pas ($a^2 - b^2$) à l'intérieur de la racine.
Applications réelles
Apprentissage Automatique (KNN)
En IA, l'algorithme "K-Nearest Neighbors" classe les points de données en fonction des groupes connus dont ils sont les plus proches. Il calcule la "Distance" entre les points de données dans un espace multidimensionnel pour décider si une image est un chat ou un chien.
Développement de Jeux
Les jeux calculent la distance des milliers de fois par seconde pour vérifier si une balle a touché une cible, si un joueur est assez proche pour ouvrir une porte, ou pour rendre des objets 3D à la bonne taille en fonction de leur éloignement.
Questions Fréquemment Posées
L'ordre des points a-t-il de l'importance ?
Non. Parce que vous élevez la différence au carré, $(5-2)^2 = 3^2 = 9$ et $(2-5)^2 = (-3)^2 = 9$. Le résultat est le même.
Qu'est-ce que la Distance de Manhattan ?
La distance euclidienne est "à vol d'oiseau" (diagonale). La distance de Manhattan est comme conduire dans des pâtés de maisons : $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$. Elle est utilisée dans la recherche de chemin basée sur une grille.