Définition du Sinus
Description
La fonction Sinus (abrégée en $\sin$) est l'un des trois rapports trigonométriques principaux, formant la base de la trigonométrie avec le Cosinus et la Tangente. Elle relie l'angle d'un triangle rectangle au rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur de l'hypoténuse.
Le moyen mnémotechnique **SOH CAH TOA** aide à se souvenir de cette définition : * **S**inus = **O**pposé / **H**ypoténuse * Cosinus = Adjacent / Hypoténuse * Tangente = Opposé / Adjacent
Au-delà des triangles, la fonction sinus est fondamentale pour décrire les phénomènes périodiques. Sur le cercle unité (un cercle de rayon 1), si vous mesurez un angle $\theta$ depuis l'axe des x positifs, la coordonnée y du point sur le cercle est exactement $\sin(\theta)$. Cela permet de définir le sinus pour tous les nombres réels, pas seulement les angles entre 0° et 90°.
Histoire & Origines
Le concept de sinus a une histoire riche s'étendant sur plusieurs civilisations. Inde Ancienne (v. 500 apr. J.-C.) : Le mathématicien Aryabhata a utilisé le terme ardha-jya (demi-corde) pour décrire le sinus. Cela a été plus tard raccourci en jya ou jiva. Âge d'Or Islamique (v. 800 apr. J.-C.) : Les mathématiciens arabes ont traduit les textes sanskrits. Ils ont translittéré jiva en arabe comme jiba. Comme l'arabe s'écrit sans voyelles courtes, il a été écrit jb. Les lecteurs ultérieurs ont interprété cela comme jayb, qui signifie "poche" ou "pli" en arabe. Europe Médiévale (v. 1150 apr. J.-C.) : Lorsque Gérard de Crémone a traduit ces textes arabes en latin, il a traduit jayb par le mot latin pour poche/pli : sinus. Cette erreur de traduction est restée, nous donnant le mot moderne "sinus".
Définition du Cercle Unité
La fonction sinus s'étend au-delà des triangles rectangles en utilisant le cercle unité.
Dessinez un cercle de rayon $r=1$ centré en $(0,0)$.
Dessinez une ligne depuis l'origine faisant un angle $\theta$ avec l'axe des x positifs.
Cette ligne coupe le cercle en un point $P(x,y)$.
Dessinez une ligne verticale de $P$ vers le bas jusqu'à l'axe des x pour former un triangle rectangle.
L'hypoténuse est le rayon, donc $H = 1$.
Le côté opposé à $\theta$ est la hauteur verticale $y$.
Par définition, $\sin(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{y}{1} = y$.
Ainsi, sur le cercle unité, le sinus est simplement la coordonnée y.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
θ | Angle (en degrés ou radians) |
opposé | Longueur du côté opposé à l'angle |
hypoténuse | Longueur du côté le plus long (opposé à 90°) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver sin(30°)
Solution :
Problème de l'Échelle
Problème : Une échelle de 10 mètres est appuyée contre un mur faisant un angle de 60° avec le sol. À quelle hauteur sur le mur atteint-elle ?
Solution : ~8,66 mètres
- Identifier les connus : Hypoténuse (échelle) = 10m, Angle $\theta = 60^\circ$.
- Identifier l'inconnu : Côté opposé (hauteur du mur).
- Choisir le rapport : SOH (Sinus = Opposé / Hypoténuse).
- Équation : $\sin(60^\circ) = \frac{h}{10}$.
- Résoudre pour h : $h = 10 \times \sin(60^\circ)$.
- Calculer : $h = 10 \times 0,866 = 8,66$ mètres.
Ondes Sonores
Problème : Un ton pur est modélisé par $y(t) = A \sin(2\pi f t)$. Si l'amplitude A=5 et la fréquence f=440Hz, quelle est la valeur à t=0,001s ?
Solution : ~1,91
- Équation : $y = 5 \sin(2\pi \times 440 \times 0,001)$.
- Calculer l'angle : $2\pi \times 0,44 \approx 2,76$ radians.
- Calculer le sinus : $\sin(2,76) \approx 0,38$.
- Multiplier par l'Amplitude : $5 \times 0,38 = 1,9$.
Erreurs Courantes
Degrés vs Radians
Les calculatrices ont deux modes. $\sin(30^\circ) = 0,5$, mais $\sin(30 \text{ rad}) = -0,98$. Vérifiez toujours votre mode !
Confondre Sinus et Cosinus
Rappelez-vous SOH CAH TOA. Sinus est Opposé, Cosinus est Adjacent. Si le côté touche l'angle, c'est Adjacent (Cosinus).
Applications réelles
Son et Musique
Les tons musicaux sont des ondes sonores composées d'ondes sinusoïdales à différentes fréquences. Les synthétiseurs créent des sons en additionnant plusieurs ondes sinusoïdales.
Courant Alternatif (CA)
L'électricité dans votre prise murale alterne de direction selon un motif d'onde sinusoïdale fluide. Les ingénieurs utilisent des fonctions sinus pour modéliser la tension et le courant dans le temps.
Questions Fréquemment Posées
Pourquoi le sinus est-il entre -1 et 1 ?
Dans un triangle rectangle, le côté opposé ne peut jamais être plus long que l'hypoténuse, donc le rapport ne peut pas dépasser 1. Sur le cercle unité, la coordonnée y va de -1 (bas) à 1 (haut).
Qu'est-ce que le sinus inverse ?
Le sinus inverse ($\sin^{-1}$ ou arcsin) fait l'inverse : il prend un rapport et vous donne l'angle. Si $\sin(\theta) = 0,5$, alors $\theta = 30^\circ$.