Définition du Cosinus
Description
La fonction Cosinus (abrégée en $\cos$) est l'un des rapports trigonométriques fondamentaux. Avec le Sinus et la Tangente, elle relie les angles d'un triangle rectangle aux longueurs de ses côtés. Plus précisément, le cosinus relie l'angle au côté adjacent et à l'hypoténuse.
Le moyen mnémotechnique **SOH CAH TOA** est la façon standard de s'en souvenir : * Sinus = Opposé / Hypoténuse * **C**osinus = **A**djacent / **H**ypoténuse * Tangente = Opposé / Adjacent
Sur le Cercle Unité (un cercle de rayon 1 centré à l'origine), le cosinus d'un angle $\theta$ est défini comme la **coordonnée x** du point où le côté terminal de l'angle coupe le cercle. Cette définition permet d'étendre le cosinus à tout nombre réel, y compris les angles négatifs et les angles supérieurs à 360°, où il forme un motif d'onde périodique essentiel pour la physique et l'ingénierie.
Histoire & Origines
L'histoire du cosinus est parallèle à celle du sinus. Inde Ancienne (v. 500 apr. J.-C.) : Alors que le sinus (jya) était le point central, le concept de "sinus complémentaire" ou koti-jya était utilisé pour décrire ce que nous appelons maintenant le cosinus. Cela signifiait littéralement le sinus de l'angle complémentaire (90° - $\theta$). Edmund Gunter (1620) : Il a introduit le terme "co-sine" comme abréviation de complementi sinus (sinus du complément), solidifiant la relation $\cos(\theta) = \sin(90^\circ - \theta)$. Euler (années 1700) : Leonhard Euler a popularisé la notation moderne $\cos$ et l'a traitée comme une fonction d'un nombre réel plutôt que simplement comme un segment de ligne géométrique, ouvrant la voie à l'analyse moderne.
Définition du Cercle Unité
La fonction cosinus est mieux comprise géométriquement sur le cercle unité.
Dessinez un cercle de rayon $r=1$ sur un système de coordonnées cartésiennes.
Dessinez un angle $\theta$ partant de l'axe x positif.
Le côté terminal de l'angle touche le cercle en un point $P(x, y)$.
Abaissez une ligne perpendiculaire de $P$ vers l'axe x pour former un triangle rectangle.
L'**hypoténuse** est le rayon ($r=1$).
Le côté **adjacent** est la distance horizontale depuis l'origine, qui est $x$.
Par définition, $\cos(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{x}{1} = x$.
Par conséquent, sur le cercle unité, le cosinus est simplement la coordonnée x.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
θ | Angle (degrés ou radians) |
adjacent | Côté à côté de l'angle (le touchant) |
hypoténuse | Côté le plus long (opposé à l'angle de 90°) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver cos(60°)
Solution :
Construction de Rampe
Problème : Vous construisez une rampe avec une planche de 10 mètres. Si la rampe doit faire un angle de 30° avec le sol, à quelle distance de la base du mur commencera-t-elle ?
Solution : ~8,66 mètres
- Identifier les connus : Hypoténuse (planche) = 10m, Angle = 30°.
- Identifier l'inconnu : Côté adjacent (distance au sol).
- Choisir le rapport : CAH (Cosinus = Adjacent / Hypoténuse).
- Équation : $\cos(30^\circ) = \frac{x}{10}$.
- Résoudre : $x = 10 \times \cos(30^\circ)$.
- Calculer : $x = 10 \times 0,866 = 8,66$ mètres.
Composantes Vectorielles
Problème : Un vecteur force de 50 Newtons est appliqué à un angle de 45° par rapport à l'horizontale. Quelle est la composante horizontale ($F_x$) ?
Solution : ~35,35 N
- Formule : $F_x = F \times \cos(\theta)$.
- Substituer : $F_x = 50 \times \cos(45^\circ)$.
- On sait que $\cos(45^\circ) \approx 0,707$.
- Calculer : $50 \times 0,707 = 35,35$ N.
Erreurs Courantes
Confondre Adjacent et Opposé
Le côté Adjacent touche TOUJOURS l'angle qui vous intéresse (et l'angle droit). Le côté Opposé ne touche pas l'angle.
Calculatrice dans le Mauvais Mode
$\cos(90^\circ) = 0$, mais $\cos(90 \text{ rad}) \approx -0,448$. Vérifiez toujours si vous êtes en Degrés (DEG) ou Radians (RAD).
Applications réelles
Infographie (Éclairage)
En rendu 3D, la "Loi du Cosinus de Lambert" calcule l'intensité lumineuse. La luminosité d'une surface dépend du cosinus de l'angle entre la source lumineuse et la normale de la surface. Si la lumière frappe de face (0°), c'est le plus brillant ($\cos(0)=1$).
Physique : Travail
La formule du Travail est $W = F d \cos(\theta)$. Seule la composante de force agissant *dans la direction* du mouvement effectue un travail. Le cosinus filtre la force gaspillée poussant latéralement.
Questions Fréquemment Posées
Pourquoi cos(0) = 1 ?
À 0 degrés, l'angle est plat. Le côté "adjacent" repose parfaitement le long de l'hypoténuse, donc leurs longueurs sont égales. Rapport = 1/1 = 1.
Qu'est-ce que la "Loi des Cosinus" ?
C'est un théorème de Pythagore généralisé pour les triangles NON rectangles : $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$. Cela fonctionne pour n'importe quel triangle.