Définition de la Tangente
Description
La fonction Tangente (abrégée en $\tan$) est l'un des trois rapports trigonométriques fondamentaux, aux côtés du Sinus et du Cosinus. Alors que le Sinus et le Cosinus relient un angle à l'hypoténuse, la Tangente relie les deux jambes d'un triangle rectangle l'une à l'autre : le côté **Opposé** à l'angle et le côté **Adjacent** à l'angle.
Le moyen mnémotechnique **TOA** (partie de SOH CAH TOA) aide à se souvenir de cette définition : * **T**angente = **O**pposé / **A**djacent
**Interprétation Géométrique :** * **Pente :** Dans le système de coordonnées cartésiennes, la tangente d'un angle $\theta$ est exactement la **pente** (montée sur course) de la ligne formant cet angle avec l'axe des x positifs. $\tan(\theta) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$. * **La Ligne "Tangente" :** Sur le Cercle Unité, si vous dessinez une ligne verticale tangente au cercle à $x=1$, la tangente de $\theta$ est la longueur du segment sur cette ligne verticale de l'axe des x jusqu'à l'extension du côté terminal de l'angle. C'est pourquoi on l'appelle "tangente" (qui touche).
**Propriétés Clés :** * **Plage :** Contrairement au Sinus et au Cosinus qui sont piégés entre -1 et 1, la Tangente peut prendre n'importe quelle valeur réelle de $-\infty$ à $+\infty$. * **Asymptotes :** La fonction est indéfinie à $90^\circ$ ($\\frac{\pi}{2}$) et $270^\circ$ ($3\\frac{\pi}{2}$), car le côté Adjacent (cosinus) devient zéro, conduisant à une division par zéro. Sur le graphique, elles apparaissent comme des asymptotes verticales.
Histoire & Origines
Le concept de la tangente est en fait plus ancien que le sinus et le cosinus en termes d'utilisation pratique, en grande partie grâce à l'étude des ombres. Ombres Anciennes (Gnomonique) : Les civilisations anciennes utilisaient des gnomons (bâtons verticaux) pour dire l'heure. La relation entre la hauteur du bâton et la longueur de son ombre est essentiellement la fonction tangente (ou cotangente). Thalès de Milet a utilisé ce principe pour mesurer la hauteur de la Grande Pyramide en attendant que la longueur de sa propre ombre soit égale à sa taille (lorsque $\tan(\theta) = 1$, angle = 45°). Mathématiques Islamiques (v. 800-900 apr. J.-C.) : Le mathématicien perse Al-Marwazi a produit la première table des tangentes (longueurs d'ombre). Plus tard, Al-Biruni et Al-Battani ont défini la tangente comme une fonction trigonométrique distincte des tables d'ombres. Thomas Fincke (1583) : Le mathématicien danois qui a inventé le terme "tangente" dans son livre Geometria Rotundi. Il vient du latin tangere, signifiant "toucher", faisant référence à l'interprétation géométrique sur le cercle unité.
Dérivation à partir du Sinus et du Cosinus
Nous pouvons dériver la formule de la tangente directement des définitions du sinus et du cosinus.
Rappel Sinus : $\sin(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$.
Rappel Cosinus : $\cos(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$.
Divisez Sinus par Cosinus : $\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}}{\frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}}$.
Simplifiez la fraction : Les termes "Hypoténuse" s'annulent.
Résultat : $\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$.
Par définition, c'est $\tan(\theta)$.
Preuve Géométrique (Cercle Unité)
Pourquoi est-ce la longueur de la ligne tangente ?
Dessinez un cercle unité (rayon $r=1$) et un angle $\theta$ à l'origine.
Dessinez une ligne verticale touchant le cercle à $(1,0)$. C'est la ligne tangente.
Prolongez le côté terminal de l'angle jusqu'à ce qu'il frappe cette ligne verticale au point $T(1, y)$.
Formez un triangle rectangle avec l'origine $(0,0)$, le point $(1,0)$, et $T(1,y)$.
Le côté Adjacent est le rayon, qui est 1.
Le côté Opposé est la hauteur $y$.
Calculez le rapport : $\tan(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}} = \frac{y}{1} = y$.
Ainsi, la coordonnée y de l'intersection sur la ligne tangente est la tangente de l'angle.
Variables
| Symbole | Signification |
|---|---|
θ | Angle (degrés ou radians) |
opposé | Côté opposé à l'angle |
adjacent | Côté adjacent à l'angle (pas l'hypoténuse) |
Exemple
Calcul de Base
Problème : Trouver tan(45°)
Solution :
Mesurer la Hauteur d'un Bâtiment
Problème : Vous vous tenez à 50 mètres de la base d'un bâtiment. Vous mesurez l'angle d'élévation jusqu'au sommet comme étant de 60°. Quelle est la hauteur du bâtiment ?
Solution : ~86,6 mètres
- Identifier les connus : Adjacent = 50m, Angle = 60°.
- Identifier l'inconnu : Opposé (Hauteur).
- Choisir le rapport : TOA (Tangente = Opposé / Adjacent).
- Équation : $\tan(60^\circ) = \frac{h}{50}$.
- Savoir que $\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1,732$.
- Résoudre : $h = 50 \times 1,732$.
- Résultat : $h \approx 86,6$ mètres.
Pente d'un Toit
Problème : Un toit monte de 4 mètres pour chaque 12 mètres de course horizontale. Quel est l'angle du toit ?
Solution : ~18,4°
- Identifier : Opposé (Montée) = 4, Adjacent (Course) = 12.
- Formule : $\tan(\theta) = \frac{4}{12} = 0,333$.
- Utiliser la Tangente Inverse : $\theta = \tan^{-1}(0,333)$.
- Calculer : $\theta \approx 18,43^\circ$.
Erreurs Courantes
Utiliser l'Hypoténuse
La Tangente n'utilise JAMAIS l'hypoténuse. C'est seulement Opposé et Adjacent. Si vous avez l'hypoténuse, utilisez Sinus ou Cosinus.
tan(90°)
Les étudiants essaient souvent de calculer $\tan(90^\circ)$ et obtiennent "Erreur" ou supposent que c'est 0. C'est INDÉFINI (infini) car le côté adjacent devient 0.
Applications réelles
Arpentage & Cartographie
Les arpenteurs utilisent un instrument appelé Théodolite pour mesurer les angles horizontaux et verticaux. En connaissant l'angle et une distance de base (adjacent), ils utilisent la fonction tangente pour calculer les altitudes des montagnes ou les hauteurs des points de repère sans les escalader.
Physique : Coefficient de Frottement
Si vous placez un bloc sur une rampe et l'inclinez lentement, le bloc commencera à glisser à un angle spécifique $\theta$. Le "coefficient de frottement statique" $\mu$ est exactement égal à $\tan(\theta)$. Cette expérience simple permet aux physiciens de déterminer les propriétés de frottement des matériaux.
Questions Fréquemment Posées
Pourquoi tan(45°) = 1 ?
À 45 degrés, le triangle est un triangle rectangle isocèle. Les côtés Opposé et Adjacent ont exactement la même longueur. Tout nombre divisé par lui-même est 1.
Quel est le lien entre la Tangente et la Pente ?
C'est la même chose ! La pente $m$ d'une ligne est définie comme $\frac{\text{Montée}}{\text{Course}}$, ce qui est exactement $\frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$, ou $\tan(\theta)$.